Um objeto de (1,20 \mathrm{~cm}) de altura está (50,0 \mathrm{~cm}) à esquerda de uma lente convergente de (40,0 \mathrm{~cm}) de distância focal. Uma segunda lente convergente, possuindo distância focal de (60,0 \mathrm{~cm}), situa-se (300,0 \mathrm{~cm}) à direita da primeira lente ao longo do mesmo eixo ótico. (a) Encontre a posição e a altura da imagem (chame-a I_{1} ) formada pela lente com uma distância focal de (40,0 \mathrm{~cm}). (b) I_{1} agora é o objeto para a segunda lente. Determine o local e a altura da imagem produzida pela segunda lente. Esta é a imagem final produzida pela combinação de lentes.

Passo 1

O enunciado descreve um sistema de duas lentes convergentes no mesmo eixo ótico. A primeira lente tem distância focal f_1=40,0\\ \mathrm{cm} e recebe um objeto de altura h=1,20\\ \mathrm{cm} colocado a s_1=50,0\\ \mathrm{cm} à esquerda dessa lente. A segunda lente tem distância focal f_2=60,0\\ \mathrm{cm} e está a 300,0\\ \mathrm{cm} à direita da primeira. Vamos usar a equação de Gauss para lentes finas
\frac{1}{f}=\frac{1}{s}+\frac{1}{s'}
e a definição de ampliação
m=-\frac{s'}{s},
além de h'=m\,h.

Passo 2

Para a primeira lente ( f_1=40,0\\ \mathrm{cm}, s_1=50,0\\ \mathrm{cm}):
\frac{1}{f_1}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_1'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{40,0}=\frac{1}{50,0}+\frac{1}{s_1'} \quad\Longrightarrow\quad s_1'=\frac{40,0\cdot50,0}{50,0-40,0}=200,0\\ \mathrm{cm}.
A ampliação vale
m_1=-\frac{s_1'}{s_1}=-\frac{200,0}{50,0}=-4,00,
logo a altura da imagem I_1 é
h_1=m_1\,h=-4,00\times1,20\\ \mathrm{cm}=-4,80\\ \mathrm{cm}.

Passo 3

A imagem I_1 forma-se 200,0\\ \mathrm{cm} à direita da primeira lente. Como a segunda lente está 300,0\\ \mathrm{cm} à direita da primeira, a distância do objeto I_1 até a segunda lente é
s_2=300,0-200,0=100,0\\ \mathrm{cm}.

Passo 4

Para a segunda lente ( f_2=60,0\\ \mathrm{cm}, s_2=100,0\\ \mathrm{cm}):
\frac{1}{f_2}=\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_2'} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{60,0}=\frac{1}{100,0}+\frac{1}{s_2'} \quad\Longrightarrow\quad s_2'=\frac{60,0\cdot100,0}{100,0-60,0}=150,0\\ \mathrm{cm}.
A ampliação desta etapa é
m_2=-\frac{s_2'}{s_2}=-\frac{150,0}{100,0}=-1,50,
e a altura final da imagem I_2 é
h_2=m_2\,h_1=-1,50\times(-4,80)\\ \mathrm{cm}=+7,20\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) A imagem I_1 forma-se 200,0\\ \mathrm{cm} à direita da primeira lente, tem altura h_1=-4,80\\ \mathrm{cm} (invertida).
(b) A imagem final I_2 forma-se 150,0\\ \mathrm{cm} à direita da segunda lente, com altura h_2=+7,20\\ \mathrm{cm} (direita).

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