6.34 A corrente através de um indutor de 10 mH é 10 e^{-t 2} \mathrm{~A}. Determine a tensão e a potência em t=3 \mathrm{~s}.
Passo 1
O enunciado dá a corrente que passa por um indutor e pede a tensão e a potência no instante t=3\\ \text{s}. Informações fornecidas:
Indutância: L=10\\ \text{mH}.
Corrente: i(t)=10e^{-2t}\\ \text{A}. (Interpretei 10 e^{-t2} como 10e^{-2t}.)
Instante para avaliar: t=3\\ \text{s}.
O que precisamos encontrar:
A tensão no indutor em t=3\\ \text{s}.
A potência instantânea entregue/absorvida pelo indutor em t=3\\ \text{s}.
Passo 2
Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando devagar):
A tensão em um indutor ligada à variação da corrente é dada por
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde v(t) é a tensão em volts, L é a indutância em henry e \dfrac{di}{dt} é a derivada da corrente em ampère por segundo. Isso vem da lei fundamental do indutor: a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente.
A potência instantânea no elemento (com a convenção passante) é
p(t)=v(t)\,i(t).
Explicação extra: se p(t)>0, o indutor está absorvendo (armazenando) energia naquele instante; se p(t)<0, o indutor está entregando (liberando) energia para o circuito.
Passo 3
Vamos calcular a derivada da corrente usando a regra da cadeia para exponenciais. Para a função
Em microssegundos: p(3)\approx-12{,}29\\ \mu\text{W}.
Breve interpretação física (para você se animar): o sinal negativo indica que, naquele instante, o indutor está liberando energia para o circuito (a corrente está decrescendo, então a energia armazenada em sua campo magnético diminui). Para checar consistência, a energia armazenada no indutor é \tfrac{1}{2}Li^2; derivando dá L i\,di/dt, que é exatamente p(t).