6.34 A corrente através de um indutor de 10 mH é 10 e^{-t 2} \mathrm{~A}. Determine a tensão e a potência em t=3 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá a corrente que passa por um indutor e pede a tensão e a potência no instante t=3\\ \text{s}. Informações fornecidas:
  • Indutância: L=10\\ \text{mH}.
  • Corrente: i(t)=10e^{-2t}\\ \text{A}. (Interpretei 10 e^{-t2} como 10e^{-2t}.)
  • Instante para avaliar: t=3\\ \text{s}.
O que precisamos encontrar:
  • A tensão no indutor em t=3\\ \text{s}.
  • A potência instantânea entregue/absorvida pelo indutor em t=3\\ \text{s}.

Passo 2

Fórmulas e conceitos que vamos usar (explicando devagar):
  • A tensão em um indutor ligada à variação da corrente é dada por
v(t)=L\,\frac{di(t)}{dt},
onde v(t) é a tensão em volts, L é a indutância em henry e \dfrac{di}{dt} é a derivada da corrente em ampère por segundo. Isso vem da lei fundamental do indutor: a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente.
  • A potência instantânea no elemento (com a convenção passante) é
p(t)=v(t)\,i(t).
Explicação extra: se p(t)>0, o indutor está absorvendo (armazenando) energia naquele instante; se p(t)<0, o indutor está entregando (liberando) energia para o circuito.

Passo 3

Vamos calcular a derivada da corrente usando a regra da cadeia para exponenciais. Para a função
i(t)=10e^{-2t},
a derivada é
\frac{di}{dt}=10\cdot\frac{d}{dt}\bigl(e^{-2t}\bigr).
A derivada de e^{u(t)} é u'(t)e^{u(t)}. Aqui u(t)=-2t, então u'(t)=-2. Portanto
\frac{di}{dt}=10\cdot(-2)\,e^{-2t}=-20e^{-2t}\quad\text{(A/s)}.

Passo 4

Avaliação numérica em t=3\\ \text{s}:
Primeiro, convertemos a indutância para henry:
L=10\\ \text{mH}=10\times10^{-3}\\ \text{H}=10^{-2}\\ \text{H}.
Agora a corrente em t=3 é
i(3)=10e^{-2\cdot 3}=10e^{-6}.
Valor numérico aproximado: e^{-6}\approx0{,}002478752, logo
i(3)\approx10\cdot0{,}002478752=0{,}02478752\\ \text{A}\approx0{,}02479\\ \text{A}.
A derivada em t=3 é
\frac{di}{dt}\Big|_{t=3}=-20e^{-2\cdot 3}=-20e^{-6}\approx-20\cdot0{,}002478752=-0{,}04957504\\ \text{A/s}\approx-0{,}04958\\ \text{A/s}.

Passo 5

Agora a tensão em t=3 usando v=L\,di/dt:
v(3)=L\cdot\frac{di}{dt}\Big|_{t=3}=10^{-2}\cdot\bigl(-20e^{-6}\bigr)=-0{,}2e^{-6}\\ \text{V}.
Avaliação numérica:
v(3)\approx-0{,}2\cdot0{,}002478752=-0{,}0004957504\\ \text{V}\approx-4{,}9575\times10^{-4}\\ \text{V}.
Em unidades mais usuais: v(3)\approx-0{,}4958\\ \text{mV}.

Passo 6

Agora a potência em t=3: p(t)=v(t)i(t). Calculamos simbolicamente primeiro:
p(3)=v(3)\,i(3)=\bigl(-0{,}2e^{-6}\bigr)\bigl(10e^{-6}\bigr)=-2e^{-12}\\ \text{W}.
Avaliação numérica: e^{-12}\approx6{,}144212\times10^{-6}, então
p(3)\approx-2\cdot6{,}144212\times10^{-6}=-1{,}2288424\times10^{-5}\\ \text{W}\approx-1{,}23\times10^{-5}\\ \text{W}.
Em microssegundos: p(3)\approx-12{,}29\\ \mu\text{W}.
Breve interpretação física (para você se animar): o sinal negativo indica que, naquele instante, o indutor está liberando energia para o circuito (a corrente está decrescendo, então a energia armazenada em sua campo magnético diminui). Para checar consistência, a energia armazenada no indutor é \tfrac{1}{2}Li^2; derivando dá L i\,di/dt, que é exatamente p(t).

Resposta

\displaystyle v(3)=-0{,}2e^{-6}\\ \text{V}\approx-4{,}9575\times10^{-4}\\ \text{V}
\displaystyle p(3)=-2e^{-12}\\ \text{W}\approx-1{,}2288\times10^{-5}\\ \text{W}

Exercícios relacionados