Calcule a tensão no domínio do tempo par uma tensão 5+j 8 V, com f=30 Hz.

Passo 1

O enunciado dá uma tensão em forma fasorial 5 + j\,8 V e a frequência f=30\\ \text{Hz}. Pede-se a tensão no domínio do tempo correspondente.
Informações relevantes:
  • Fasor: \;5 + j\,8\; V.
  • Frequência: \;f=30\\ \text{Hz}.
  • Pergunta: escrever v(t), a tensão no domínio do tempo (função senoidal no tempo) correspondente a esse fasor.

Passo 2

Convencionando (importante): normalmente em circuitos o fasor dado representa um valor eficaz (RMS). Vou adotar essa convenção aqui — ou seja, V_{\text{rms}} = 5 + j\,8 V. Se o seu professor usa outra convenção (fasor = amplitude de pico), o processo é o mesmo, só muda um fator \sqrt{2}; eu explico isso nos passos.
Regra de conversão básica (quando o fasor é o valor eficaz): se a representação fasorial é
V_{\text{rms}} = V_{\text{rms}}\angle\varphi,
então a forma no tempo (assumindo cosseno de referência) é
v(t) = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}}\cos(\omega t + \varphi),
onde \omega = 2\pi f é a pulsação (rad/s) e \varphi é a fase em radianos. Vou aplicar essa fórmula.

Passo 3

Calcular o módulo (valor eficaz absoluto) do fasor. Primeiro:
\text{o quadrado do módulo} = 5^{2} + 8^{2} = 25 + 64 = 89.ó
Logo o módulo (valor eficaz) é
V_{\text{rms}} = \sqrt{89} \approx 9,433\\ \text{V}.
Explicação didática: o módulo de um número complexo a + j b é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a=5 e b=8.

Passo 4

Calcular a fase \varphi. Como a parte real é positiva ( 5>0) e a imaginária também é positiva ( 8>0), o fasor está no 1º quadrante e a fase é
\varphi = \arctan\!\left(\frac{8}{5}\right).
Computando:
\varphi \approx \arctan(1,6) \approx 1,012\\ \text{rad} \approx 57,99^\circ.
Explicação didática: a função \arctan dá o ângulo cujo tangente é b/a. Sempre verificar o sinal de a e b para ajustar o quadrante; aqui não é necessário ajuste porque estamos no 1º quadrante.

Passo 5

Calcular a pulsação \omega:
\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 30 = 60\pi\\ \text{rad/s}.
Este é o termo que multiplica t dentro do cosseno.

Passo 6

Montar a expressão no tempo usando a fórmula do Passo 2. Primeiro a amplitude de pico:
V_{m} = \sqrt{2}\,V_{\text{rms}} = \sqrt{2}\,\sqrt{89} \approx 1,41421356\cdot 9,433 \approx 13,342\\ \text{V}.
Portanto a tensão no tempo (referência cosseno) é
v(t) = 13,342\cos\!\bigl(60\pi\,t + 1,012\bigr)\\ \text{V}.
Observação didática final: se o fasor 5+j8 tivesse sido dado já como amplitude de pico (em vez de RMS), então a forma no tempo seria simplesmente
v(t)=9,433\cos\!\bigl(60\pi\,t + 1,012\bigr)\\ \text{V},
ou seja, sem o fator \sqrt{2}. Sempre confirme com o enunciado qual convenção de fasor está sendo usada.

Resposta

v(t)=13,342\cos\!\bigl(60\pi\,t + 1,012\bigr)\\ \text{V}

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