Um sinal elétrico de 18 MHz , na faixa de OM , e levado do equipamento transmissor à antena em um cabo de 8 m . Considere que o sinal se propaga na velocidade \mathrm{v}_{\mathrm{p}}=200.10^{6} \mathrm{m} / \mathrm{s}.
Qual o comprimento de onda aproximadamente desse sinal ( \lambda )?
Qual a defasagem do sinal no final do cabo?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados fornecidos:
    • velocidade de propagação do sinal: v_{p}=200\cdot10^{6}\\ \mathrm{m/s}.
    • frequência do sinal: f=18\\ \mathrm{MHz}=18\cdot10^{6}\\ \mathrm{Hz}.
    • comprimento do cabo: l=8\\ \mathrm{m}.
  • Perguntas:
    1. Qual o comprimento de onda aproximado \lambda do sinal?
    2. Qual a defasagem (fase) do sinal no final do cabo, isto é, o quanto a fase mudou ao percorrer l=8\\ \mathrm{m}?

Passo 2

Como calcular o comprimento de onda: a relação fundamental entre velocidade, frequência e comprimento de onda é
\lambda=\frac{v_{p}}{f}.
Aqui:
  • \lambda é o comprimento de onda (em metros),
  • v_{p} é a velocidade de fase do sinal (em \mathrm{m/s}),
  • f é a frequência (em \mathrm{Hz}).
Vamos substituir os valores fornecidos. Primeiro cancelei os fatores 10^{6}:
\lambda=\frac{200\cdot10^{6}}{18\cdot10^{6}}=\frac{200}{18}.
Simplificando a fração:
\frac{200}{18}=\frac{100}{9}=11,\overline{1}\\ \mathrm{m}.
Para usar um valor prático, escrevo com duas casas decimais: \lambda\approx11,11\\ \mathrm{m}. Uma forma mental rápida: 18\times11=198 (perto de 200), então \lambda é pouco acima de 11\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Agora calculamos a defasagem que o sinal acumula ao percorrer o cabo de comprimento l.
Ideia: cada comprimento de onda \lambda corresponde a uma variação de fase de 2\pi radianos (ou 360^\circ). Se o sinal percorre uma fração \dfrac{l}{\lambda} do comprimento de onda, a fase muda em
\varphi = 2\pi\cdot\frac{l}{\lambda},
onde \varphi está em radianos.
Calculemos a fração \dfrac{l}{\lambda} de forma exata usando o valor racional de \lambda encontrado:
\lambda=\frac{100}{9}\\ \mathrm{m}\quad\Rightarrow\quad \frac{l}{\lambda}=\frac{8}{100/9}=8\cdot\frac{9}{100}=\frac{72}{100}=0,72.
Ou seja, o cabo tem exatamente 0,72 vezes a \lambda (ou 72\% de uma onda).
Substituindo em \varphi:
\varphi = 2\pi\cdot0,72 = \frac{144\pi}{100} = \frac{36\pi}{25}\\ \text{rad}.
Esse valor em radianos também pode ser dado numericamente:
\varphi \approx 1{,}44\pi \approx 4{,}5239\\ \text{rad}.
Para ficar mais intuitivo, converto para graus (lembrando que 180^\circ=\pi rad):
\phi_{\text{deg}} = \varphi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=1{,}44\pi\cdot\frac{180^\circ}{\pi}=1{,}44\cdot180^\circ=259{,}2^\circ.

Passo 4

Interpretação prática e dicas para prova:
  • \lambda\approx11,11\\ \mathrm{m} significa que um cabo de 8\\ \mathrm{m} é uma fração significativa da onda (72% de \lambda). Em alto-falantes/antenas/sinais RF, isso importa porque um cabo com comprimento comparável à \lambda provoca defasagens e possíveis reflexões que precisam ser tratadas.
  • A defasagem \varphi\approx4{,}524\\ \text{rad} (= 259{,}2^\circ) é o quanto a fase do sinal transmitido no equipamento foi “rodada” quando chega na antena. Se preferir ângulo dentro de (-180^\circ,180^\circ], pode escrever \varphi\approx-100{,}8^\circ (porque 259{,}2^\circ-360^\circ=-100{,}8^\circ) — ambas as representações são equivalentes, apenas mudam o intervalo de referência.

Resposta

\lambda\approx11,11\\ \mathrm{m}
\varphi=\dfrac{36\pi}{25}\\ \text{rad}\approx4{,}5239\\ \text{rad}\approx259{,}2^\circ

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