Calcule a representação fasorial de 3 \sqrt{2} \cos \left(2 t-135^{\circ}\right) V.

Passo 1

O enunciado nos dá a tensão no domínio do tempo
3\sqrt{2}\cos\!\bigl(2t-135^\circ\bigr)\\ \text{V}
e pede a representação fasorial dessa grandeza. Dados extraídos:
  • Amplitude de pico: V_m=3\sqrt{2}.
  • Frequência angular: \omega=2\\ \text{rad/s} (aparece no termo \cos(2t+\cdot)).
  • Fase: \varphi=-135^\circ.

Passo 2

O que é representação fasorial? Uma forma curta de representar sinais senoidais em regime estacionário, removendo a dependência explícita do tempo. Convenções importantes (explicadas devagarinho):
  • Se a forma no tempo é \cos(\omega t+\varphi) com amplitude de pico V_m, o “fasor de pico” é
\tilde{V}_{\text{pico}} = V_m\angle\varphi.
  • Em engenharia é muito comum trabalhar com fasores em valor eficaz (RMS). O valor RMS de uma senoide de pico V_m é \dfrac{V_m}{\sqrt{2}}. Assim o “fasor RMS” é
\tilde{V}_{\text{rms}} = \frac{V_m}{\sqrt{2}}\angle\varphi.
  • Ambas as formas representam a mesma informação; a diferença é só multiplicar/dividir por \sqrt{2} (pico ↔ RMS). Em problemas de circuitos, normalmente usa-se o fasor em RMS.

Passo 3

Aplicando ao nosso sinal:
  • V_m = 3\sqrt{2}.
  • \varphi = -135^\circ.
Fasor de pico:
\tilde{V}_{\text{pico}} = 3\sqrt{2}\angle -135^\circ.
Fasor RMS (dividindo por \sqrt{2}):
\tilde{V}_{\text{rms}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\angle -135^\circ = 3\angle -135^\circ.

Passo 4

Vamos também mostrar as formas retangulares (úteis na conta sem usar trigonometria numérica complicada). Sabemos que
\cos(-135^\circ)= -\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin(-135^\circ)= -\frac{\sqrt{2}}{2}.
  • Fasor de pico em retangular:
\tilde{V}_{\text{pico}} = 3\sqrt{2}\biggl(\!- \frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr) = 3\bigl(-1 - j\bigr) = -3 - j3.
  • Fasor RMS em retangular:
\tilde{V}_{\text{rms}} = 3\biggl(\!- \frac{\sqrt{2}}{2} - j\frac{\sqrt{2}}{2}\biggr) = -\frac{3\sqrt{2}}{2} - j\frac{3\sqrt{2}}{2}.

Passo 5

Interpretação prática e escolha final: para uso em circuitos (análises com impedâncias, potências, etc.) a convenção padrão é usar fasores em RMS. Por isso a representação fasorial final que normalmente se pede é o fasor em RMS, com a parte temporal \mathrm{e}^{j\omega t} suprimida.

Resposta

\tilde{V}_{\text{rms}}=3\angle -135^\circ\\ \text{V}
(Equivalente em pico: \tilde{V}_{\text{pico}}=3\sqrt{2}\angle -135^\circ\\ \text{V}.)

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