1.34 Determinar x e y, tais que:
\left(\begin{array}{cc} x^{2} & y \\ x & y^{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede: Determinar x e y tais que a matriz
\begin{pmatrix} x^{2} & y \\\ x & y^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ -1 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes que o enunciado dá (cada entrada da matriz da esquerda deve corresponder à entrada igual na matriz da direita):
  • Da posição (1,1): x^{2}=1.
  • Da posição (1,2): y=-1.
  • Da posição (2,1): x=-1.
  • Da posição (2,2): y^{2}=1.

Passo 2

Explicação do princípio usado (rápida e intuitiva): quando duas matrizes têm as mesmas dimensões e são iguais, cada entrada correspondente é igual. Ou seja, a igualdade de matrizes se traduz em um sistema de equações formadas pelas entradas correspondentes. Já listamos essas equações no Passo 1; agora vamos resolver esse sistema passo a passo.

Passo 3

Resolver para x. Das equações que temos relativas a x:
x^{2}=1
Para resolver \,x^{2}=1 (uma equação quadrática simples), lembramos que um quadrado é igual a 1 quando a base é 1 ou -1. Portanto
x=1 \quad\text{ou}\quad x=-1.
Mas outra informação vinda diretamente da entrada (2,1) da matriz é
x=-1.
Daí concluímos que a escolha correta é x=-1 (a alternativa x=1 fica descartada porque a própria matriz exige x=-1).

Passo 4

Resolver para y. Das equações que temos relativas a y:
y=-1
vinda da posição (1,2) da igualdade de matrizes. Também temos
y^{2}=1,
que implicaria y=1 ou y=-1. Como já temos a equação direta y=-1, escolha:
y=-1.
Ou seja, y=-1 é compatível com y^{2}=1 e é a que a matriz exige.

Passo 5

Verificação final (sempre bom checar na prova): substituindo x=-1 e y=-1 na matriz da esquerda obtemos
\begin{pmatrix} x^{2} & y \\\ x & y^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1)^{2} & -1 \\\\ -1 & (-1)^{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\\\ -1 & 1 \end{pmatrix},
que coincide exatamente com a matriz do enunciado. Portanto a solução é consistente e completa.

Resposta

x=-1,\; y=-1

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