1.34 Encontre uma matriz triangular superior A tal que A^3=[cc8 & -57 0 & 3].

Passo 1

O enunciado pede uma matriz triangular superior A de ordem 2 tal que
A^3 = 8 & -57 [6pt] 0 & 3
O conteúdo envolve potências de matrizes triangulares e a propriedade de que, se
A = a & b [3pt]0 & c,
então A^3 permanece triangular superior com entradas fáceis de expressar em termos de a, b e c.]

Passo 2

Seja
A = a & b [3pt]0 & c
Queremos calcular A^3.]

Passo 3

Usando a multiplicação de matrizes triangulares, chega\‐se a
A^2 = a^2 & b,(a+c) [3pt]0 & c^2, A^3 = A^2,A = a^3 & b,(a^2 + a,c + c^2) [3pt]0 & c^3 ]

Passo 4

Comparando com a matriz dada, obtemos as equações nas entradas diagonais:
a^3 = 8, c^3 = 3
Logo
a = 2, c = raiz[3]3

Passo 5

Agora igualamos a entrada (1,2) de A^3 a -57:
b,l(a^2 + a,c + c^2r) = -57
Substituindo a=2 e c=raiz[3]3
b,l(2^2 + 2,raiz[3]3 + (raiz[3]3)^2r) = -57,
b,l(4 + 2,raiz[3]3 + 3^2/3r) = -57
Observamos que
4 + 2,raiz[3]3 + 3^2/3 = l(raiz[3]3+2r)^2
Portanto
b = -57l(raiz[3]3+2r)^2

Passo 6

Concluímos que uma solução para A é
A = 2 & -57l(raiz[3]3+2r)^2 [8pt] 0 & raiz[3]3 ]

Resposta

A = 2 & -dfrac57l(raiz[3]3+2r)^2 [8pt] 0 & raiz[3]3 ]

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