1.33 Seja A=[cc6 & -3 3 & 6]. Verifique que A A^prime=A^prime A, portanto a matriz A é normal.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 6 & -3[6pt] 3 & 6
e pede para verificar que
A,A^top = A^topA,
o que, pela definição, mostra que A é uma matriz normal (para matrizes reais, normalidade significa comutar com sua transposta).]

Passo 2

Primeiro calculamos a transposta de A. Como basta trocar linhas por colunas, temos
A^top = 6 & 3[6pt] -3 & 6 ]

Passo 3

Agora multiplicamos A por A^top. Usando a definição de produto de matrizes,
A,A^top = 6 & -3[4pt] 3 & 6 6 & 3[4pt] -3 & 6 = 6cdot6 + (-3)cdot(-3) & 6cdot3 + (-3)cdot6[6pt] 3cdot6 + 6cdot(-3) & 3cdot3 + 6cdot6 = 45 & 0[4pt] 0 & 45 ]

Passo 4

Em seguida, multiplicamos A^top por A:
A^topA = 6 & 3[4pt] -3 & 6 6 & -3[4pt] 3 & 6 = 6cdot6 + 3cdot3 & 6cdot(-3) + 3cdot6[6pt] (-3)cdot6 + 6cdot3 & (-3)cdot(-3) + 6cdot6 = 45 & 0[4pt] 0 & 45 ]

Passo 5

Como os dois produtos deram a mesma matriz
A,A^top = 45 & 0[4pt] 0 & 45 = A^topA,
concluímos que A comuta com sua transposta, logo é normal.]

Resposta

A é normal, pois
A,A^top = A^topA = 45,I2

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