-•34 No primeiro estágio de uma máquina de Carnot de dois estágios, uma energia Q_{1} é absorvida na forma de calor à temperatura T_{1}, um trabalho W_{1} é realizado e uma energia Q_{2} é liberada na forma de calor à temperatura T_{2}. O segundo estágio absorve essa energia na forma de calor Q_{2}, realiza um trabalho W_{2} e libera energia na forma de calor Q_{3} a uma temperatura ainda menor T_{3}. Mostre que a eficiência da máquina é \left(T_{1}-T_{3}\right) / T_{1}.

Passo 1

O enunciado descreve uma máquina de Carnot em dois estágios operando entre três reservatórios de temperaturas T_{1}>T_{2}>T_{3}. No primeiro estágio absorve-se calor Q_{1} a T_{1}, libera-se Q_{2} a T_{2} e produz-se trabalho W_{1}. No segundo estágio absorve-se Q_{2} a T_{2}, libera-se Q_{3} a T_{3} e produz-se trabalho W_{2}. O conteúdo é termodinâmica de ciclos reversíveis e vamos usar a relação de Carnot entre calores e temperaturas.

Passo 2

Para um ciclo de Carnot reversível entre temperatura quente T_{h} e fria T_{c}, vale
\frac{Q_{\!c}}{Q_{\!h}}=\frac{T_{c}}{T_{h}}.
No primeiro estágio, com T_{h}=T_{1} e T_{c}=T_{2}, temos
Q_{2}=Q_{1}\,\frac{T_{2}}{T_{1}}.
No segundo estágio, com T_{h}=T_{2} e T_{c}=T_{3}, temos
Q_{3}=Q_{2}\,\frac{T_{3}}{T_{2}}.

Passo 3

Substituindo Q_{2} da primeira na expressão de Q_{3} da segunda, obtemos
Q_{3} =\bigl(Q_{1}\,\tfrac{T_{2}}{T_{1}}\bigr)\,\tfrac{T_{3}}{T_{2}} =Q_{1}\,\frac{T_{3}}{T_{1}}.

Passo 4

O trabalho total produzido é
W=W_{1}+W_{2}=(Q_{1}-Q_{2})+(Q_{2}-Q_{3})=Q_{1}-Q_{3}.
Logo, a eficiência global é
\eta=\frac{W}{Q_{1}} =\frac{Q_{1}-Q_{3}}{Q_{1}} =1-\frac{Q_{3}}{Q_{1}} =1-\frac{T_{3}}{T_{1}} =\frac{T_{1}-T_{3}}{T_{1}}.

Resposta

A eficiência da máquina é \displaystyle\frac{T_{1}-T_{3}}{T_{1}}.

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