34 Seja um corpo um movimento retilíneo com aceleração dada por:
a(t)=4 t+32
Encontre v com função de t (ou seja v=v(t) ) e x como função t(x=x(t)). As condições iniciais são: em t=0 ; x0=0 e v0=4. (As unidades são metro e segundo). Resolva por integral definida e por integral indefinida.

Passo 1

O enunciado trata de um movimento retilíneo com aceleração a(t)=4t+32 e pede para determinar a velocidade v(t) e a posição x(t) em função do tempo, sabendo que em t=0 vale v(0)=4 e x(0)=0. O conteúdo é cinemática escalar: usamos integração da aceleração para obter a velocidade e integração da velocidade para obter a posição.

Passo 2

Para achar v(t) por integral definida, usamos
v(t)-v(0)=integral0^ta(tau),dtau
integral0^ta(tau),dtau=integral0^t(4tau+32),dtau =l[2tau^2+32taur]0^t =2t^2+32t
Como v(0)=4, fica
v(t)=4+2t^2+32t

Passo 3

Para achar x(t) por integral definida, usamos
x(t)-x(0)=integral0^tv(tau),dtau
integral0^tv(tau),dtau =integral0^tl(4+2tau^2+32taur),dtau =l[4tau+tfrac23tau^3+16tau^2r]0^t =4t+tfrac23t^3+16t^2
Como x(0)=0, temos
x(t)=4t+16t^2+tfrac23t^3

Passo 4

Para achar v(t) por integral indefinida, fazemos
v(t)=integral a(t),dt=integral(4t+32),dt =2t^2+32t+C1
Impondo v(0)=4 resulta C1=4, logo
v(t)=2t^2+32t+4

Passo 5

Para achar x(t) por integral indefinida, fazemos
x(t)=integral v(t),dt =integral(2t^2+32t+4),dt =tfrac23t^3+16t^2+4t+C2
Impondo x(0)=0 resulta C2=0, logo
x(t)=tfrac23t^3+16t^2+4t

Resposta

v(t)=2t^2+32t+4
x(t)=tfrac23t^3+16t^2+4t

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