30 Na definição de integral definida, mostre como entra a noção de limite. Explique esta noção para o caso da soma de Riemann e o que ela significa (explique o significa em palavras).
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar como a noção de limite aparece na definição da integral definida de uma função em , usando o conceito de soma de Riemann, e depois explicar em palavras o que esse limite significa. O conteúdo envolve: definição de partição, soma de Riemann, norma da partição e o processo de refinar a partição até que a soma convirja a um valor único.
Passo 2
Para um dado número inteiro , escolhemos uma partição
em que cada subintervalo tem comprimento . Em cada subintervalo escolhemos um ponto qualquer . A soma de Riemann associada a e aos pontos é
Definimos também a norma da partição como
que mede o tamanho do maior subintervalo.
Passo 3
A integral definida de em é o limite, se existir, de quando a partição é refinada infinitamente, isto é, quando . Formalmente, dizemos que existe
se, para todo , existe tal que, para qualquer partição com e qualquer escolha de pontos , vale
Esse limite garante que as somas de Riemann convergem a um mesmo valor L independentemente de como escolhemos os pontos xi^*, desde que a partição seja suficientemente fina.
Passo 4
Em palavras, o limite |P|to 0 significa que estamos dividindo o intervalo [a,b] em retângulos cada vez mais estreitos (cada De<a xi fica muito pequeno) e somando as áreas aproximadas f(xi^*),De<a xi. À medida que os retângulos ficam infinitamente estreitos, a soma dessas áreas se aproxima cada vez mais da “área verdadeira” sob o gráfico de f. O processo de limite formaliza essa ideia de aproximação cada vez melhor, garantindo um valor único para a área.
Resposta
A integral definida
integrala^b f(x),dx
é justamente o limite das somas de Riemann
lim|P|to 0sumi=1^n f(xi^*),De<a xi,
onde |P| é o tamanho do maior subintervalo da partição. Em palavras, esse limite descreve como, ao refinar cada vez mais a partição de [a,b] em retângulos estreitos, a soma das áreas desses retângulos convergirá à área exata sob f.