30 Na definição de integral definida, mostre como entra a noção de limite. Explique esta noção para o caso da soma de Riemann e o que ela significa (explique o significa em palavras).

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar como a noção de limite aparece na definição da integral definida de uma função f em [a,b], usando o conceito de soma de Riemann, e depois explicar em palavras o que esse limite significa. O conteúdo envolve: definição de partição, soma de Riemann, norma da partição e o processo de refinar a partição até que a soma convirja a um valor único.

Passo 2

Para um dado número inteiro n>=1, escolhemos uma partição
P: a = x0 < x1 < cdots < xn = b
em que cada subintervalo tem comprimento De<a xi = xi - xi-1. Em cada subintervalo [xi-1,xi] escolhemos um ponto qualquer xi^*. A soma de Riemann associada a P e aos pontos xi^* é
S(P,f) ;=; sumi=1^n f(xi^*),De<a xi
Definimos também a norma da partição como
|P| ;=; max1<= i<= n De<a xi,
que mede o tamanho do maior subintervalo.

Passo 3

A integral definida de f em [a,b] é o limite, se existir, de S(P,f) quando a partição é refinada infinitamente, isto é, quando |P|to 0. Formalmente, dizemos que existe
integrala^b f(x),dx = L
se, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, para qualquer partição P com |P|<de<a e qualquer escolha de pontos xi^*, vale
l|S(P,f) - Lr| < varepsilon
Esse limite garante que as somas de Riemann convergem a um mesmo valor L independentemente de como escolhemos os pontos xi^*, desde que a partição seja suficientemente fina.

Passo 4

Em palavras, o limite |P|to 0 significa que estamos dividindo o intervalo [a,b] em retângulos cada vez mais estreitos (cada De<a xi fica muito pequeno) e somando as áreas aproximadas f(xi^*),De<a xi. À medida que os retângulos ficam infinitamente estreitos, a soma dessas áreas se aproxima cada vez mais da “área verdadeira” sob o gráfico de f. O processo de limite formaliza essa ideia de aproximação cada vez melhor, garantindo um valor único para a área.

Resposta

A integral definida
integrala^b f(x),dx
é justamente o limite das somas de Riemann
lim|P|to 0sumi=1^n f(xi^*),De<a xi,
onde |P| é o tamanho do maior subintervalo da partição. Em palavras, esse limite descreve como, ao refinar cada vez mais a partição de [a,b] em retângulos estreitos, a soma das áreas desses retângulos convergirá à área exata sob f.

Exercícios relacionados