P. 340 (Vunesp) Um projétil de 20 gramas, com velocidade de 240 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, atinge o tronco de uma árvore e nele penetra uma certa distância até parar.
a) Determine a energia cinética E_{c} do projétil antes de colidir com o tronco e o trabalho 乙 realizado sobre o projétil na sua trajetória no interior do tronco, até parar.
b) Sabendo que o projétil penetrou 18 cm no tronco da árvore, determine o valor médio F_{\mathrm{m}} da força de resistência que o tronco ofereceu à penetração do projétil.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas:
  • Dados fornecidos:
    • massa do projétil: m = 20\\ \mathrm{g}.
    • velocidade inicial do projétil antes de atingir o tronco: v = 240\\ \mathrm{m/s}.
    • distância de penetração no tronco (parte (b)): s = 18\\ \mathrm{cm}.
  • Perguntas:
    • (a) Determinar a energia cinética E_{c} do projétil antes da colisão e o trabalho W realizado sobre o projétil durante sua trajetória dentro do tronco até parar.
    • (b) Sabendo a penetração s, determinar o valor médio F_{\mathrm{m}} da força de resistência oferecida pelo tronco.

Passo 2

Primeiro converto as unidades para o Sistema Internacional (SI), porque todas as fórmulas de energia e força usam SI:
  • m = 20\\ \mathrm{g} = 0{,}020\\ \mathrm{kg}.
  • s = 18\\ \mathrm{cm} = 0{,}18\\ \mathrm{m}.
    (Explicação curta: 1\\ \mathrm{g}=10^{-3}\\ \mathrm{kg} e 1\\ \mathrm{cm}=10^{-2}\\ \mathrm{m}.)

Passo 3

Cálculo da energia cinética inicial E_{c}.
  • Fórmula da energia cinética de um corpo de massa m com velocidade v:
E_{c}=\tfrac{1}{2}\,m\,v^{2}.
Aqui:
  • m é a massa em quilogramas ( \mathrm{kg}).
  • v é a velocidade em metros por segundo ( \mathrm{m/s}).
    Substituindo os valores:
E_{c}=\tfrac{1}{2}\cdot 0{,}020\cdot (240)^{2}.
Faço as contas passo a passo:
(240)^{2}=57600,
0{,}020\cdot 57600 = 1152,
\tfrac{1}{2}\cdot 1152 = 576.
Portanto,
E_{c}=576\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Cálculo do trabalho W realizado sobre o projétil dentro do tronco até parar.
  • Uso o teorema do trabalho-energia: o trabalho resultante realizado sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética,
W_{\text{res}}=\Delta E_{c}=E_{c,\text{final}}-E_{c,\text{inicial}}.
No nosso caso, o projétil para completamente dentro do tronco, então E_{c,\text{final}}=0. Assim
W=0-E_{c}=-E_{c}.
Substituindo E_{c}=576\\ \mathrm{J}:
W=-576\\ \mathrm{J}.
(Interpretação física: o tronco faz trabalho negativo sobre o projétil, retirando energia cinética; o módulo do trabalho realizado pelo tronco é 576\\ \mathrm{J}.)

Passo 5

Relacionamento entre trabalho e força média para obter F_{\mathrm{m}}.
  • Se uma força média constante F_{\mathrm{m}} age ao longo de um deslocamento s e forma ângulo \theta com o deslocamento, o trabalho dessa força é
W=F_{\mathrm{m}}\,s\,\cos\theta.
No nosso caso a força de resistência do tronco aponta em sentido oposto ao deslocamento do projétil, portanto \theta=180^\circ e \cos\theta=-1. Logo,
W=-F_{\mathrm{m}}\,s.
Como já sabemos W=-576\\ \mathrm{J}, temos
-576 = -F_{\mathrm{m}}\cdot 0{,}18.
Multiplico por -1 e isolo F_{\mathrm{m}}:
F_{\mathrm{m}}=\frac{576}{0{,}18}.

Passo 6

Faço a divisão para encontrar o valor numérico de F_{\mathrm{m}}:
\frac{576}{0{,}18}=\frac{57600}{18}=3200.
Portanto
F_{\mathrm{m}}=3200\\ \mathrm{N}.
(Interpretação: esse é o valor médio da força de resistência; sua direção é oposta ao movimento do projétil.)

Resposta

(a) E_{c}=576\\ \mathrm{J},\quad W=-576\\ \mathrm{J}
(b) F_{\mathrm{m}}=3200\\ \mathrm{N}

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