Considere a densidade de energia
obtida por Max Planck:
e, a relação entre a Radiância espectral total e a densidade de energia dada por:
Mostre que a radiância espectral é proporcional a
e calcule a constante de proporcionalidade.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: mostrar que a radiância espectral total
é proporcional a
e calcular a constante de proporcionalidade. As informações dadas são:
- A densidade de energia por frequência de Planck:
- A relação entre radiância espectral total e densidade de energia:
onde a integração é sobre todas as frequências
.
Passo 2
Substituir
na expressão de
e factorizar constantes que não dependem de
. Começo escrevendo a integral completa:
Agora reúno as constantes multiplicativas fora da integral:
Calculo o fator numérico:
Logo
Passo 3
Extrair a dependência em
por mudança de variável adimensional. Faço a substituição padrão
Substituo na integral:
Assim a integral fica
Portanto a dependência em
saiu da integral como
e temos
Isto já mostra que
é proporcional a
; falta calcular a integral adimensional
.
Passo 4
Calcular a integral
de forma elementar usando a expansão em série geométrica. Para
vale a identidade
então
onde foi trocada a soma com a integral (justificável por convergência absoluta). Agora calculo a integral genérica
Faço a mudança
,
, obtendo
A integral
é a função Gamma
, que vale
. Assim
Voltando à soma,
onde
é a função zeta de Riemann. É conhecido (pode ser mostrado por séries de Fourier) que
. Portanto
Passo 5
Substituo o valor de
na expressão encontrada em
Passo 6
Portanto a radiância espectral total é proporcional a
e a constante de proporcionalidade (a chamada constante de Stefan–Boltzmann
, no contexto desta relação) é
Se for desejado um valor numérico, usando as constantes físicas padrão, obtém-se aproximadamente
.