Considere a densidade de energia \rho(\nu) obtida por Max Planck:
\rho(\nu)=\frac{8 \pi \nu^{2}}{c^{3}} \frac{h \nu}{\exp \left(\frac{h \nu}{k_{B} T}\right)-1}
e, a relação entre a Radiância espectral total e a densidade de energia dada por:
R_{T}=\int(c / 4) \rho(\nu) d \nu
Mostre que a radiância espectral é proporcional a T^{4} e calcule a constante de proporcionalidade.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: mostrar que a radiância espectral total R_{T} é proporcional a T^{4} e calcular a constante de proporcionalidade. As informações dadas são:
  • A densidade de energia por frequência de Planck:
\rho(\nu)=\frac{8 \pi \nu^{2}}{c^{3}}\;\frac{h \nu}{\exp\!\left(\frac{h \nu}{k_{B} T}\right)-1}.
  • A relação entre radiância espectral total e densidade de energia:
R_{T}=\int \frac{c}{4}\,\rho(\nu)\,d\nu,
onde a integração é sobre todas as frequências \nu\in[0,\infty).

Passo 2

Substituir \rho(\nu) na expressão de R_{T} e factorizar constantes que não dependem de \nu. Começo escrevendo a integral completa:
R_{T}=\frac{c}{4}\int_{0}^{\infty}\frac{8\pi \nu^{2}}{c^{3}}\;\frac{h\nu}{\exp\!\left(\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1}\,d\nu.
Agora reúno as constantes multiplicativas fora da integral:
R_{T}=\frac{c}{4}\cdot\frac{8\pi h}{c^{3}}\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^{3}}{\exp\!\left(\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1}\,d\nu.
Calculo o fator numérico:
\frac{c}{4}\cdot\frac{8\pi h}{c^{3}}=\frac{2\pi h}{c^{2}}.
Logo
R_{T}=\frac{2\pi h}{c^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^{3}}{\exp\!\left(\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1}\,d\nu.

Passo 3

Extrair a dependência em T por mudança de variável adimensional. Faço a substituição padrão
x=\frac{h\nu}{k_{B}T}\quad\Longrightarrow\quad \nu=\frac{k_{B}T}{h}x,\quad d\nu=\frac{k_{B}T}{h}\,dx.
Substituo na integral:
\nu^{3}\,d\nu=\left(\frac{k_{B}T}{h}\right)^{3}x^{3}\cdot\left(\frac{k_{B}T}{h}\,dx\right)=\left(\frac{k_{B}T}{h}\right)^{4}x^{3}\,dx.
Assim a integral fica
\int_{0}^{\infty}\frac{\nu^{3}}{\exp\!\left(\frac{h\nu}{k_{B}T}\right)-1}\,d\nu =\left(\frac{k_{B}T}{h}\right)^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.
Portanto a dependência em T saiu da integral como T^{4} e temos
R_{T}=\frac{2\pi h}{c^{2}}\left(\frac{k_{B}T}{h}\right)^{4}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx =\frac{2\pi k_{B}^{4}}{c^{2}h^{3}}\,T^{4}\;\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.
Isto já mostra que R_{T} é proporcional a T^{4}; falta calcular a integral adimensional \displaystyle\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx.

Passo 4

Calcular a integral \displaystyle I=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx de forma elementar usando a expansão em série geométrica. Para x>0 vale a identidade
\frac{1}{e^{x}-1}=\sum_{m=1}^{\infty}e^{-m x},
então
I=\int_{0}^{\infty}x^{3}\left(\sum_{m=1}^{\infty}e^{-m x}\right)dx=\sum_{m=1}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-m x}\,dx,
onde foi trocada a soma com a integral (justificável por convergência absoluta). Agora calculo a integral genérica
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-m x}\,dx.
Faço a mudança y=m x, dx=dy/m, obtendo
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-m x}\,dx=\int_{0}^{\infty}\left(\frac{y}{m}\right)^{3}e^{-y}\frac{dy}{m}=\frac{1}{m^{4}}\int_{0}^{\infty}y^{3}e^{-y}\,dy.
A integral \int_{0}^{\infty}y^{3}e^{-y}\,dy é a função Gamma \Gamma(4), que vale 3!=6. Assim
\int_{0}^{\infty}x^{3}e^{-m x}\,dx=\frac{6}{m^{4}}.
Voltando à soma,
I=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{6}{m^{4}}=6\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m^{4}}=6\,\zeta(4),
onde \zeta é a função zeta de Riemann. É conhecido (pode ser mostrado por séries de Fourier) que \zeta(4)=\dfrac{\pi^{4}}{90}. Portanto
I=6\cdot\frac{\pi^{4}}{90}=\frac{\pi^{4}}{15}.

Passo 5

Substituo o valor de I na expressão encontrada em

Passo 6

R_{T}=\frac{2\pi k_{B}^{4}}{c^{2}h^{3}}\,T^{4}\cdot\frac{\pi^{4}}{15} =\frac{2\pi^{5}k_{B}^{4}}{15\,c^{2}h^{3}}\,T^{4}.
Portanto a radiância espectral total é proporcional a T^{4} e a constante de proporcionalidade (a chamada constante de Stefan–Boltzmann \sigma, no contexto desta relação) é
\sigma=\frac{2\pi^{5}k_{B}^{4}}{15\,c^{2}h^{3}}.
Se for desejado um valor numérico, usando as constantes físicas padrão, obtém-se aproximadamente \sigma\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\text{K}^{-4}.

Resposta

R_{T}=\sigma T^{4},\qquad \sigma=\frac{2\pi^{5}k_{B}^{4}}{15\,c^{2}h^{3}}\approx 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \text{W}\,\text{m}^{-2}\text{K}^{-4}

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