(c) Utilize o teorema da integral no domínio do tempo: \frac{F(s)}{s}=\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} f(\tau) d \tau\right\} para obter as transformadas inversas de:
\begin{aligned} G(s) & \equiv \frac{1}{s\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)} \\\ H(s) & \equiv \frac{1}{s^{2}\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)} . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede as transformadas inversas (no tempo) de duas funções racionais em s:
\begin{aligned} G(s) &= \frac{1}{s\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)},\\[4pt] H(s) &= \frac{1}{s^{2}\left((s-\alpha)^{2}+\beta^{2}\right)}. \end{aligned}
Informações relevantes fornecidas:
  • A propriedade que deve ser usada é \dfrac{F(s)}{s}=\mathcal{L}\!\left\{\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau\right\}.
  • É necessário identificar F(s) tal que F(s)=\dfrac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2} e então usar a propriedade para obter as inversas de G(s) e H(s).
  • Vou apresentar os passos de cálculo das integrais no tempo de forma explícita (não vou pular etapas).]

Passo 2

Primeiro, recordemos pares básicos de Laplace que vamos usar:
\mathcal{L}\{e^{\alpha t}\cos(\beta t)\}=\frac{s-\alpha}{(s-\alpha)^2+\beta^2}, \qquad \mathcal{L}\{e^{\alpha t}\sin(\beta t)\}=\frac{\beta}{(s-\alpha)^2+\beta^2}.
Da segunda igualdade segue imediatamente que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}\right\} = \frac{1}{\beta}e^{\alpha t}\sin(\beta t).
Chamemos
f(t)=\frac{1}{\beta}e^{\alpha t}\sin(\beta t), \qquad F(s)=\frac{1}{(s-\alpha)^2+\beta^2}.
Assim F(s) é a transformada de f(t).

Passo 3

Agora trate G(s). Temos G(s)=\dfrac{F(s)}{s}. Usando a propriedade dada:
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{F(s)}{s}\right\} =\int_{0}^{t} f(\tau)\,d\tau =\frac{1}{\beta}\int_{0}^{t} e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau.
Calculamos a integral explícita. Uma primitiva conhecida (pode obter por partes) é
\int e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau =\frac{e^{\alpha \tau}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(\alpha\sin(\beta \tau)-\beta\cos(\beta \tau)\big)+C.
Aplicando os limites de 0 a t:
\int_{0}^{t} e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau =\frac{1}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(e^{\alpha t}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+\beta\big).
Portanto
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) =\frac{1}{\beta}\cdot\frac{1}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(e^{\alpha t}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+\beta\big).
Organizando um pouco:
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) =\frac{1}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\left(\frac{\alpha}{\beta}e^{\alpha t}\sin\beta t - e^{\alpha t}\cos\beta t + 1\right).

Passo 4

Agora trate H(s). Note que H(s)=\dfrac{F(s)}{s^{2}}. A divisão por s^{2} corresponde a integrar duas vezes no tempo; de forma útil pela convolução:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{F(s)}{s^{2}}\right\} =\int_{0}^{t}(t-\tau)f(\tau)\,d\tau.
Logo
\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}(t) =\frac{1}{\beta}\int_{0}^{t}(t-\tau)e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau.
Para calcular essa integral é prático usar a separação
\int_{0}^{t}(t-\tau)e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau = t\underbrace{\int_{0}^{t}e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau}_{\displaystyle J_1} -\underbrace{\int_{0}^{t}\tau e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau}_{\displaystyle J_2}.
Já temos J_1 do passo anterior:
J_1=\frac{1}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(e^{\alpha t}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t)+\beta\big).
Calculamos agora J_2 por partes: tome u=\tau, dv=e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau. Então du=d\tau e
v=\int e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau =\frac{e^{\alpha \tau}}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\big(\alpha\sin\beta \tau-\beta\cos\beta \tau\big).
Aplicando integração por partes em J_2:
J_2=\Big[\tau v(\tau)\Big]_0^t-\int_0^t v(\tau)\,d\tau = t\,v(t)-\int_0^t v(\tau)\,d\tau.
Calculemos \displaystyle \int_0^t v(\tau)\,d\tau. Usando v(\tau)=\dfrac{e^{\alpha \tau}}{D}(\alpha\sin\beta\tau-\beta\cos\beta\tau) com D=\alpha^{2}+\beta^{2},
\int_0^t v(\tau)\,d\tau =\frac{1}{D}\Big(\alpha\int_0^t e^{\alpha \tau}\sin\beta\tau\,d\tau -\beta\int_0^t e^{\alpha \tau}\cos\beta\tau\,d\tau\Big).
As primitivas são conhecidas:
\int e^{\alpha \tau}\sin\beta\tau\,d\tau=\frac{e^{\alpha \tau}}{D}(\alpha\sin\beta\tau-\beta\cos\beta\tau),
\int e^{\alpha \tau}\cos\beta\tau\,d\tau=\frac{e^{\alpha \tau}}{D}(\alpha\cos\beta\tau+\beta\sin\beta\tau).
Substituindo e avaliando de 0 a t (após alguma álgebra direta) obtém-se
\int_0^t v(\tau)\,d\tau =\frac{e^{\alpha t}}{D^2}\big((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta t -2\alpha\beta\cos\beta t\big)+\frac{2\alpha\beta}{D^2}.
Então
J_2=t\frac{e^{\alpha t}}{D}(\alpha\sin\beta t-\beta\cos\beta t) -\left[\frac{e^{\alpha t}}{D^2}\big((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta t -2\alpha\beta\cos\beta t\big)+\frac{2\alpha\beta}{D^2}\right].
Agora volte a I:=\int_{0}^{t}(t-\tau)e^{\alpha \tau}\sin(\beta \tau)\,d\tau = tJ_1 - J_2. Ao montar tJ_1-J_2 observam-se cancelamentos no termo com t e^{\alpha t}(\alpha\sin-\beta\cos), e sobra
I=\frac{t\beta}{D}+\frac{e^{\alpha t}}{D^2}\big((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta t -2\alpha\beta\cos\beta t\big)+\frac{2\alpha\beta}{D^2}.
Finalmente, lembrando do fator \dfrac{1}{\beta} que multiplica I para obter \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}, temos
\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}(t) =\frac{1}{\beta}I =\frac{t}{D}+\frac{2\alpha}{D^{2}}+\frac{e^{\alpha t}}{\beta D^{2}}\big((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta t -2\alpha\beta\cos\beta t\big),
onde novamente D=\alpha^{2}+\beta^{2}. Verificação rápida: para t=0 a expressão dá zero, que é o valor correto de \mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}(0).

Resposta

\mathcal{L}^{-1}\{G(s)\}(t) =\frac{1}{\alpha^{2}+\beta^{2}}\left(\frac{\alpha}{\beta}e^{\alpha t}\sin\beta t - e^{\alpha t}\cos\beta t + 1\right)
\mathcal{L}^{-1}\{H(s)\}(t) =\frac{t}{\alpha^{2}+\beta^{2}}+\frac{2\alpha}{(\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}}+\frac{e^{\alpha t}}{\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})^{2}}\big((\alpha^{2}-\beta^{2})\sin\beta t -2\alpha\beta\cos\beta t\big)

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