3.4*Imagine uma onda eletromagnética cujo campo elétrico está na direção y . Mostre que a Eq。 (3.27) ,aplicada à onda harmônica
E=E_{0} \cos (k x-\omega t), \quad B=B_{0} \cos (k x-\omega t)
leva ao resultado
E_{0}=c B_{0}
de acordo com a Eq.(3.30).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Dados (peguei estes do enunciado):
    • O campo elétrico é uma onda harmônica na direção y: \mathbf{E}(x,t)=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{y}.
    • O campo magnético tem a mesma forma temporal/espacial: \mathbf{B}(x,t)=B_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z},onde a direção z foi escolhida porque a onda propaga-se ao longo de x e \mathbf{E} está em y (logo \mathbf{B} deve ficar em z para que \mathbf{k},\mathbf{E},\mathbf{B} formem um triêdre ortogonal).
    • O enunciado refere a Eq. (3.27) (que deve ser aplicada à onda) e à Eq. (3.30) (que relaciona \omega e k).
  • O que é pedido:
    • Mostrar que, aplicando a Eq. (3.27) à onda dada e usando a Eq. (3.30), obtém-se E_{0}=c\,B_{0}.

Passo 2

Identificar explicitamente a equação que vamos usar (isto faz parte dos dados que o enunciado quer que apliquemos).
  • A Eq. (3.27) é a forma local de uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday), que em notação vetorial vale \nabla\times \mathbf{E}=-\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.Explicando de forma simples: \nabla\times \mathbf{E} (o “rotacional” ou “curl” de \mathbf{E}) mede a circulação infinitesimal do campo elétrico ao redor de um ponto; a equação diz que essa circulação é igual ao negativo da variação temporal do campo magnético local. As derivadas parciais \partial/\partial x e \partial/\partial t significam "variação em relação a x" e "variação em relação a t".

Passo 3

Escolher componentes e calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{E} para a onda dada.
  • Como \mathbf{E}=E_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{y}, as componentes são E_x=0, E_y=E_{0}\cos(kx-\omega t), E_z=0.
  • Em coordenadas cartesianas, a componente z do rotacional é (\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}-\frac{\partial E_x}{\partial y}.Aqui E_x=0, então (\nabla\times\mathbf{E})_z=\frac{\partial E_y}{\partial x}.
  • Calcular a derivada espacial: \frac{\partial E_y}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(E_{0}\cos(kx-\omega t)\bigr) =-kE_{0}\sin(kx-\omega t).Logo (\nabla\times\mathbf{E})_z=-kE_{0}\sin(kx-\omega t).

Passo 4

Calcular o lado direito da Eq. (3.27), isto é -\partial\mathbf{B}/\partial t, usando a componente apropriada.
  • Como \mathbf{B}=B_{0}\cos(kx-\omega t)\,\hat{z}, a única componente não nula é B_z=B_{0}\cos(kx-\omega t).
  • A derivada temporal é \frac{\partial B_z}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(B_{0}\cos(kx-\omega t)\bigr) =\omega B_{0}\sin(kx-\omega t).(Explicação rápida: \partial_t\cos(kx-\omega t) = -\sin(kx-\omega t)\cdot(-\omega)=\omega\sin(kx-\omega t).)
  • Portanto -\frac{\partial B_z}{\partial t}=-\omega B_{0}\sin(kx-\omega t).

Passo 5

Igualar as duas expressões fornecidas pela Eq. (3.27) e simplificar.
  • A componente z da Eq. (3.27) (\nabla\times\mathbf{E})_z=-\frac{\partial B_z}{\partial t}.Substituindo os resultados dos passos anteriores: -kE_{0}\sin(kx-\omega t)=-\omega B_{0}\sin(kx-\omega t).
  • Como a identidade acima deve valer para todos x,t, e a função \sin(kx-\omega t) não é identicamente zero, podemos cancelar -\sin(kx-\omega t) dos dois lados, obtendo kE_{0}=\omega B_{0}.Portanto E_{0}=\frac{\omega}{k}\,B_{0}.

Passo 6

Usar a Eq. (3.30) (relação de dispersão da onda no vácuo) para concluir.
  • A Eq. (3.30) relaciona \omega e k para uma onda eletromagnética no vácuo e diz que a relação de fase é a velocidade da luz: \frac{\omega}{k}=c.(Interpretação: \omega/k é a velocidade de propagação da onda.)
  • Substituindo em E_{0}=(\omega/k)B_{0} obtemos E_{0}=c\,B_{0}.

Resposta

E_{0}=c\,B_{0}

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