3.4*Imagine uma onda eletromagnética cujo campo elétrico está na direção
. Mostre que a Eq。
,aplicada à onda harmônica
leva ao resultado
de acordo com a Eq.(3.30).
leva ao resultado
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
-
Dados (peguei estes do enunciado):
- O campo elétrico é uma onda harmônica na direção
: - O campo magnético tem a mesma forma temporal/espacial:
onde a direção foi escolhida porque a onda propaga-se ao longo de e está em (logo deve ficar em para que formem um triêdre ortogonal). - O enunciado refere a Eq.
(que deve ser aplicada à onda) e à Eq. (que relaciona e ).
- O campo elétrico é uma onda harmônica na direção
-
O que é pedido:
- Mostrar que, aplicando a Eq.
à onda dada e usando a Eq. , obtém-se
- Mostrar que, aplicando a Eq.
Passo 2
Identificar explicitamente a equação que vamos usar (isto faz parte dos dados que o enunciado quer que apliquemos).
- A Eq.
é a forma local de uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday), que em notação vetorial vale Explicando de forma simples: (o “rotacional” ou “curl” de ) mede a circulação infinitesimal do campo elétrico ao redor de um ponto; a equação diz que essa circulação é igual ao negativo da variação temporal do campo magnético local. As derivadas parciais e significam "variação em relação a " e "variação em relação a ".
Passo 3
Escolher componentes e calcular o rotacional
para a onda dada.
- Como
, as componentes são , , . - Em coordenadas cartesianas, a componente
do rotacional é Aqui , então - Calcular a derivada espacial:
Logo
Passo 4
Calcular o lado direito da Eq.
, isto é
, usando a componente apropriada.
- Como
, a única componente não nula é . - A derivada temporal é
(Explicação rápida: .) - Portanto
Passo 5
Igualar as duas expressões fornecidas pela Eq.
e simplificar.
- A componente
da Eq. dá Substituindo os resultados dos passos anteriores: - Como a identidade acima deve valer para todos
, e a função não é identicamente zero, podemos cancelar dos dois lados, obtendo Portanto
Passo 6
Usar a Eq.
(relação de dispersão da onda no vácuo) para concluir.
- A Eq.
relaciona e para uma onda eletromagnética no vácuo e diz que a relação de fase é a velocidade da luz: (Interpretação: é a velocidade de propagação da onda.) - Substituindo em
obtemos