35.21 Considere duas antenas separadas por uma distância igual a
que irradiam em fase a 120 MHz , como descrito no Exercício 35.3. Um receptor colocado à mesma
distância de 150 m de ambas as antenas mede uma intensidade
. O receptor se desloca para uma posição tal que sua distância até uma das antenas é
menor que sua distância da outra antena. (a) Qual é a diferença de fase, entre as duas ondas de rádio, produzida por essa diferença de caminho? (b) Em termos de Io, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?
distância de 150 m de ambas as antenas mede uma intensidade
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
- Duas antenas radiam em fase e estão separadas por
(essa separação não será usada diretamente, mas está no enunciado). - Frequência da radiação:
. - Um receptor, inicialmente colocado de tal forma que sua distância até ambas as antenas é a mesma, mede uma intensidade
. Essa distância comum inicial é . - O receptor é deslocado para uma nova posição tal que as distâncias até as duas antenas diferem em
; isto é, uma distância é menor que a outra.
As perguntas do enunciado são:
(a) Qual é a diferença de faseentre as duas ondas no novo ponto, produzida por essa diferença de caminho ?
(b) Em termos de, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?
Passo 2
Primeiro precisamos da comprimento de onda
da onda de rádio, porque a diferença de fase está ligada à fração de comprimento de onda do caminho extra. A fórmula é
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é a frequência. Tomando
e
,
Explicação rápida:
é a distância que a onda percorre para completar uma oscilação (um ciclo). Para ondas de rádio com essa frequência a cada
a fase aumenta em
rad.
Passo 3
A diferença de fase
causada por uma diferença de caminho
é dada por
Isto vem do fato de que um aumento de caminho igual a
corresponde a um avanço de fase de
rad. Substituindo
e
,
Convertendo para valor numérico em radianos:
E em graus (se for útil):
Passo 4
Agora vamos calcular a intensidade resultante quando chegam duas ondas coerentes com diferença de fase
. Vou explicar passo a passo a fórmula que usamos:
- Seja
e as amplitudes (dos campos elétricos) das ondas vindas das duas antenas no ponto do receptor. As intensidades individuais são e . Para ondas coerentes a intensidade total é obtida somando as amplitudes vetoriais (considerando fase) e depois tomando o quadrado da magnitude:
- Em termos de intensidades individuais
e (onde ) a fórmula fica
Explicação: o termo de interferência é o último, que depende do cosseno da diferença de fase.
No nosso caso as duas antenas irradiam em fase e as distâncias são grandes (
) comparadas à diferença
, portanto as amplitudes recebidas de cada antena são praticamente iguais. Justificativa rápida da aproximação: se uma distância muda em
sobre
, a variação relativa é
, então as amplitudes mudariam muito pouco; vamos neglectar essa pequena diferença (isso é padrão em problemas deste tipo). Assim podemos tomar
(intensidade que cada antena produziria sozinha no receptor, aproximadamente).
Com
a expressão acima vira
Quando o receptor estava equidistante (fase igual:
), a intensidade medida era
Assim obtemos
. Substituindo de volta na expressão geral,
Isto dá a intensidade no novo ponto em termos de
e de
.
Passo 5
Agora usamos o valor numérico de
encontrado no Passo 3 para calcular
. Com
,
Substituindo na fórmula da intensidade:
Portanto
Arredondando de maneira apropriada,
, ou cerca de
de
.
Resposta
(a)
(b)
(b)