35.21 Considere duas antenas separadas por uma distância igual a 9,00 \mathrm{~m} que irradiam em fase a 120 MHz , como descrito no Exercício 35.3. Um receptor colocado à mesma
distância de 150 m de ambas as antenas mede uma intensidade I_{0}. O receptor se desloca para uma posição tal que sua distância até uma das antenas é 1,8 \mathrm{~m} menor que sua distância da outra antena. (a) Qual é a diferença de fase, entre as duas ondas de rádio, produzida por essa diferença de caminho? (b) Em termos de Io, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo claramente):
  • Duas antenas radiam em fase e estão separadas por 9{,}00\\ \text{m} (essa separação não será usada diretamente, mas está no enunciado).
  • Frequência da radiação: f = 120\\ \text{MHz} = 1{,}20\times10^{8}\\ \text{Hz}.
  • Um receptor, inicialmente colocado de tal forma que sua distância até ambas as antenas é a mesma, mede uma intensidade I_{0}. Essa distância comum inicial é 150\\ \text{m}.
  • O receptor é deslocado para uma nova posição tal que as distâncias até as duas antenas diferem em \Delta r = 1{,}8\\ \text{m}; isto é, uma distância é 1{,}8\\ \text{m} menor que a outra.
    As perguntas do enunciado são:
    (a) Qual é a diferença de fase \Delta\varphi entre as duas ondas no novo ponto, produzida por essa diferença de caminho \Delta r?
    (b) Em termos de I_{0}, qual é a intensidade medida pelo receptor nessa nova posição?

Passo 2

Primeiro precisamos da comprimento de onda \lambda da onda de rádio, porque a diferença de fase está ligada à fração de comprimento de onda do caminho extra. A fórmula é
\lambda=\frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz no vácuo e f é a frequência. Tomando c=3{,}00\times10^{8}\\ \text{m/s} e f=1{,}20\times10^{8}\\ \text{Hz},
\lambda=\frac{3{,}00\times10^{8}}{1{,}20\times10^{8}}=2{,}50\\ \text{m}.
Explicação rápida: \lambda é a distância que a onda percorre para completar uma oscilação (um ciclo). Para ondas de rádio com essa frequência a cada 2{,}50\\ \text{m} a fase aumenta em 2\pi rad.

Passo 3

A diferença de fase \Delta\varphi causada por uma diferença de caminho \Delta r é dada por
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta r.
Isto vem do fato de que um aumento de caminho igual a \lambda corresponde a um avanço de fase de 2\pi rad. Substituindo \lambda=2{,}50\\ \text{m} e \Delta r=1{,}8\\ \text{m},
\Delta\varphi=\frac{2\pi}{2{,}50}\times 1{,}8 = 2\pi\cdot 0{,}72 = 1{,}44\pi\\ \text{rad}.
Convertendo para valor numérico em radianos:
\Delta\varphi \approx 1{,}44\pi \approx 4{,}5239\\ \text{rad}.
E em graus (se for útil):
\Delta\varphi\\ (\text{graus}) = 1{,}44\pi\times\frac{180^\circ}{\pi}=259{,}2^\circ.

Passo 4

Agora vamos calcular a intensidade resultante quando chegam duas ondas coerentes com diferença de fase \Delta\varphi. Vou explicar passo a passo a fórmula que usamos:
  • Seja E_{1} e E_{2} as amplitudes (dos campos elétricos) das ondas vindas das duas antenas no ponto do receptor. As intensidades individuais são I_{1}\propto E_{1}^{2} e I_{2}\propto E_{2}^{2}. Para ondas coerentes a intensidade total é obtida somando as amplitudes vetoriais (considerando fase) e depois tomando o quadrado da magnitude:
I \propto |E_{1}+E_{2}e^{i\Delta\varphi}|^{2}=E_{1}^{2}+E_{2}^{2}+2E_{1}E_{2}\cos\Delta\varphi.
  • Em termos de intensidades individuais I_{1} e I_{2} (onde I_{j}\propto E_{j}^{2}) a fórmula fica
I=I_{1}+I_{2}+2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\Delta\varphi.
Explicação: o termo de interferência é o último, que depende do cosseno da diferença de fase.
No nosso caso as duas antenas irradiam em fase e as distâncias são grandes ( \sim150\\ \text{m}) comparadas à diferença \Delta r=1{,}8\\ \text{m}, portanto as amplitudes recebidas de cada antena são praticamente iguais. Justificativa rápida da aproximação: se uma distância muda em \sim1{,}8\\ \text{m} sobre 150\\ \text{m}, a variação relativa é \sim1{,}2\%, então as amplitudes mudariam muito pouco; vamos neglectar essa pequena diferença (isso é padrão em problemas deste tipo). Assim podemos tomar I_{1}=I_{2}=I_{s} (intensidade que cada antena produziria sozinha no receptor, aproximadamente).
Com I_{1}=I_{2}=I_{s} a expressão acima vira
I=2I_{s}(1+\cos\Delta\varphi).
Quando o receptor estava equidistante (fase igual: \Delta\varphi=0), a intensidade medida era
I_{0}=2I_{s}(1+\cos 0)=2I_{s}(1+1)=4I_{s}.
Assim obtemos I_{s}=\dfrac{I_{0}}{4}. Substituindo de volta na expressão geral,
I=2\left(\frac{I_{0}}{4}\right)\bigl(1+\cos\Delta\varphi\bigr)=\frac{I_{0}}{2}\bigl(1+\cos\Delta\varphi\bigr).
Isto dá a intensidade no novo ponto em termos de I_{0} e de \Delta\varphi.

Passo 5

Agora usamos o valor numérico de \Delta\varphi encontrado no Passo 3 para calcular \cos\Delta\varphi. Com \Delta\varphi\approx 1{,}44\pi\\ \text{rad},
\cos\Delta\varphi=\cos(1{,}44\pi)\approx -0{,}18738\\ (\text{aprox.}).
Substituindo na fórmula da intensidade:
I=\frac{I_{0}}{2}\bigl(1+\cos\Delta\varphi\bigr)=\frac{I_{0}}{2}\bigl(1-0{,}18738\bigr)=\frac{I_{0}}{2}\times 0{,}81262.
Portanto
I\approx 0{,}40631\,I_{0}.
Arredondando de maneira apropriada, I\approx 0{,}406\,I_{0}, ou cerca de 40{,}6\% de I_{0}.

Resposta

(a) \Delta\varphi = 1{,}44\pi\\ \text{rad} \approx 4{,}5239\\ \text{rad} \; (259{,}2^\circ)
(b) I \approx 0{,}4063\,I_{0}

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