Explique detalhadamente as equações de Maxwell aplicadas em uma região do espaço livre (sem cargas elétricas e corrente elétrica).
Passo 1
O que o enunciado pede: explicar detalhadamente as equações de Maxwell aplicadas em uma região do espaço livre, isto é, onde não há densidade de carga elétrica nem densidade de corrente elétrica.
Informações dadas (peguei estas do enunciado):
- A região é “espaço livre” com
(densidade de carga elétrica nula). - A região não tem corrente elétrica:
.
O que vou entregar: listar as equações de Maxwell no vácuo, explicar passo a passo o significado físico e matemático de cada uma, derivar as equações de onda para
e
, mostrar soluções de onda plana e as relações entre
,
e a direção de propagação, e explicar energia e fluxo de energia (densidade de energia e vetor de Poynting). Vou sempre definir o que cada símbolo representa.
Passo 2
Escrever as equações de Maxwell no espaço livre (forma diferencial) e explicar os símbolos.
As equações gerais (antes de aplicar
e
) são:
Definições dos símbolos:
-
: campo elétrico no ponto e tempo . -
: campo magnético (indução magnética). -
: densidade de carga elétrica. -
: densidade de corrente elétrica. -
: permissividade elétrica do vácuo (constante). -
: permeabilidade magnética do vácuo (constante). -
(divergência) mede quanto o campo “sai” de um ponto; (rotacional) mede a circulação local do campo.
Agora aplicamos as condições do enunciado (
,
). As equações de Maxwell no espaço livre ficam:
Passo 3
Interpretando fisicamente cada equação (com linguagem simples e exemplos mentais).
-
. Significado: não há cargas livres na região, então não existem “fontes” ou “sumidouros” de linhas de campo elétrico ali — linhas de não começam nem terminam dentro dessa região. -
. Significado: não existem monopólos magnéticos conhecidos; as linhas de são sempre laços fechados. -
(Lei de Faraday). Significado: uma variação temporal do campo magnético produz um campo elétrico circular (componente rotacional). Em palavras: campo magnético que muda no tempo “induz” um campo elétrico. -
(forma de Ampère-Maxwell sem corrente). Significado: uma variação temporal do campo elétrico produz um campo magnético com circulação. A constante conecta a intensidade dessa indução magnética à taxa de variação de .
Passo 4
Derivando a equação de onda para
: usar identidade vetorial e as equações acima.
Identidade útil (valerá para qualquer campo vetorial
):
onde
é o laplaciano vetor componente a componente (para um campo vetorial,
tem componentes
).
Aplicar
à equação de Faraday:
Usando a identidade vetorial no lado esquerdo e trocando ordem de derivadas no lado direito:
Agora usar
(vácuo) e
:
Cancelar os sinais negativos e simplificar:
Esta é a equação de onda vetorial para
no espaço livre.
Passo 5
Derivando a equação de onda para
de maneira análoga.
Aplicar
à equação
:
Usar a identidade vetorial e
:
Simplificando os sinais:
Portanto
também satisfaz a equação de onda vetorial no espaço livre.
Passo 6
Identificar a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo.
Comparando a equação de onda com a forma padrão
, obtemos
Portanto a velocidade de propagação é
Em SI,
(valor exato pela definição) e
, então numericamente
o que é a velocidade da luz no vácuo. Isso mostra que luz é uma onda eletromagnética.
Passo 7
Soluções de onda plana e relações entre
,
e a direção de propagação.
Considere uma onda plana monocromática (uma escolha didática simples):
onde:
-
é o vetor de amplitude complexo (contém direção e fase), -
é o vetor de onda (direção de propagação e módulo ), -
é a frequência angular, e -
toma a parte real.
Substituindo numérico-nome: da equação de onda vem
com
.
A partir de Maxwell (no domínio de Fourier espacial-temporal, ou substituir
e
), obtemos:
-
e : campos transversais à direção de propagação. - De
:
Usando
deduzimos o módulo relativo:
Além disso,
e
formam um tripé ortogonal:
,
e
. Em palavras: ondas eletromagnéticas no vácuo são transversais e a magnitude do campo magnético é menor que a do elétrico por um fator
.
Passo 8
Polarização (no contexto de ondas planas).
- Polarização linear:
tem direção fixa (por exemplo em ); oscila numa direção. - Polarização circular/ellíptica: componentes de
em duas direções perpendiculares têm amplitudes e fases relativas tais que a ponta do vetor descreve um círculo/uma elipse.
Importante: todas as polarizações satisfazem.
Passo 9
Energia eletromagnética no espaço livre: densidade e fluxo.
Definições:
- Densidade de energia eletromagnética (energia por unidade de volume):
- Vetor de Poynting (fluxo de energia por unidade de área por unidade de tempo):
Essas grandezas satisfazem a equação de conservação de energia (no vácuo, sem fontes):
Breve derivação (passos principais, elementos usados):
- Usar identidade
. - Substituir
e pelas formas de Maxwell no vácuo. - Reorganizar para obter
.
Significado físico: energia dos campos se desloca com densidade
e fluxo
; sem fontes a energia é conservada localmente.
Passo 10
Momentum e pressão de radiação (consequência rápida).
- Densidade de momentum do campo eletromagnético:
- Pressão de radiação sobre um objeto completamente absorvente igual a magnitude média de
dividida por ; para refletir pode ser o dobro. Isso mostra que luz transporta momento além de energia.
Passo 11
Potenciais e gauge (uma nota útil para resolver problemas de forma prática).
É comum introduzir potencial escalar
e vetor
tais que
No espaço livre e escolhendo a gauge de Lorenz (
), os potenciais satisfazem equações de onda homogêneas:
onde o operador d’Alembertiano é
. Isso é muito útil para construir soluções e entender a causalidade das soluções (sinais propagam com velocidade
).
Passo 12
Resumo físico e dicas práticas para prova (tom amigável para te animar).
- Em vácuo:
, , , . - Dessas equações saem as equações de onda para
e : e . - Velocidade de propagação
(a luz). - Ondas planas:
, , . - Energia:
e com .
Dica prática: para derivar a equação de onda, memorize a identidadee o passo padrão de aplicar em (ou em ) e usar as outras equações.
Resposta
Para ondas planas:
Densidade de energia:
Vetor de Poynting: