Questão 9 Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual \kappa=5,5. A área das placas é 0,034 \mathrm{~m}^{2} e a distância entre as placas é 2,0 \mathrm{~mm}. O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 \mathrm{kN} / \mathrm{C}. Qual é a máxima energia que pode ser armazenada no capacitor?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • constante dielétrica: \kappa = 5,5
    • área das placas: A = 0,034\\ \mathrm{m}^2
    • distância entre placas: d = 2{,}0\\ \mathrm{mm} = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}
    • campo elétrico máximo permitido (colapso dielétrico): E_{\max} = 200\\ \mathrm{kN/C} = 2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}
  • Constante física que iremos usar:
    • permissividade do vácuo: \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}
  • O que o enunciado pede:
    • Calcular a máxima energia U_{\max} que pode ser armazenada no capacitor antes que o campo elétrico exceda E_{\max}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas básicas que vamos usar (explicadas com calma).
  • Capacitor de placas paralelas com dielétrico:
    • A capacitância é dada por
    C = \frac{\kappa \varepsilon_0 A}{d},
    onde C é a capacitância (em farads, \mathrm{F}), \kappa é a constante dielétrica (adimensional), \varepsilon_0 é a constante do vácuo ( \mathrm{F/m}), A é a área das placas ( \mathrm{m}^2) e d é a separação entre as placas ( \mathrm{m}). Intuição: o dielétrico aumenta a capacidade de armazenar carga e a capacitância é proporcional à área e inversamente proporcional à distância.
  • Relação campo E e diferença de potencial V entre placas (campo uniforme entre placas planas):
    E = \frac{V}{d}\quad\text{ou}\quad V = E\,d,
    onde E é o campo elétrico ( \mathrm{N/C} ou \mathrm{V/m}) e V é a tensão entre placas ( \mathrm{V}).
  • Energia armazenada num capacitor:
    U = \tfrac{1}{2} C V^2.
    Aqui U está em joules ( \mathrm{J}). Essa fórmula vem do trabalho necessário para carregar o capacitor incrementalmente.
  • Juntando tudo: substituir C e V=E d em U para expressar a energia em função do campo E:
    U = \tfrac{1}{2}\,C\,V^2 = \tfrac{1}{2}\,\frac{\kappa \varepsilon_0 A}{d}\,(E d)^2 = \tfrac{1}{2}\,\kappa \varepsilon_0 A d\, E^2.
    Portanto, para um dado E (aqui limitado por E_{\max}), a energia máxima é
    U_{\max} = \tfrac{1}{2}\,\kappa \varepsilon_0 A d\, E_{\max}^2.
    Observação de unidades: \varepsilon_0 tem unidade \mathrm{F/m} = \mathrm{C^2/(N\cdot m^2)}; multiplicando por A d E^2 resulta em joules — consistente.

Passo 3

Substituição dos valores numéricos e organização do cálculo passo a passo.
Vamos calcular
U_{\max} = \tfrac{1}{2}\,\kappa \varepsilon_0 A d\, E_{\max}^2.
Colocando os números (usando notação científica para manter tudo limpinho):
\kappa = 5{,}5, \qquad \varepsilon_0 = 8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m},
A = 0{,}034\\ \mathrm{m}^2, \qquad d = 2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}, \qquad E_{\max} = 2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{N/C}.
Primeiro calcule E_{\max}^2:
E_{\max}^2 = \bigl(2{,}00\times10^{5}\bigr)^2 = 4{,}00\times10^{10}\\ \mathrm{(N/C)^2}.
Agora calcule o produto A d E_{\max}^2:
A d = 0{,}034 \times 2{,}0\times10^{-3} = 6{,}8\times10^{-5}\\ \mathrm{m}^3,
A d\,E_{\max}^2 = 6{,}8\times10^{-5}\times4{,}00\times10^{10} = 2{,}72\times10^{6}.
Em seguida calcule \kappa\varepsilon_0:
\kappa\varepsilon_0 = 5{,}5\times8{,}85\times10^{-12} = 4{,}869\times10^{-11}\\ \mathrm{F/m}.
Multiplicando tudo antes do fator 1/2:
\kappa\varepsilon_0 \, (A d\,E_{\max}^2) = 4{,}869\times10^{-11}\times2{,}72\times10^{6} = 1{,}3246\times10^{-4}.
Finalmente aplicar o fator \tfrac{1}{2}:
U_{\max} = \tfrac{1}{2}\times1{,}3246\times10^{-4} = 6{,}623\times10^{-5}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Interpretação física rápida e checagem de ordem de grandeza (para te deixar mais confiante).
  • O resultado é pequeno: cerca de algumas dezenas de microjoules. Faz sentido: capacitor com placas relativamente pequenas e separação pequena mas valor de \kappa moderado e limite de campo não tão grande resulta em energia pequena.
  • Unidade checada: o cálculo usou \mathrm{F/m}, \mathrm{m}^3 e \mathrm{(N/C)^2}; o resultado final está em joules, como esperado.

Resposta

U_{\max}=6{,}62\times10^{-5}\\ \mathrm{J}

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