5.35 (a) Calcule o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a
.
(b) Qual é o tempo exigido a
para produzir o mesmo resultado de difusão (em termos da concentração em um ponto específico) ao obtido após 15 horas a
?
(b) Qual é o tempo exigido a
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Calcular o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a
. - (b) Determinar o tempo a
que produz o mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num mesmo ponto) que o obtido após horas a .
Informações dadas no enunciado:
- Temperatura inicial
. - Tempo associado ao caso inicial
. - Temperatura do segundo caso
.
Informações que faltam e que são essenciais para um cálculo numérico:
- O fator pré‑exponencial
(unidade tipicamente ) para difusão de Mg em Al. - A energia de ativação
(unidade tipicamente ou ) para essa difusão.
Sem
e
não é possível fornecer um valor numérico para o coeficiente de difusão em (a) nem para o tempo numérico em (b). Vou, portanto, apresentar o procedimento passo a passo e as fórmulas finais que você pode usar substituindo
e
pelos valores da tabela do seu livro/aula.
Passo 2
A relação que liga o coeficiente de difusão à temperatura é a lei de Arrhenius:
Explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente de difusão à temperatura absoluta (unidade: ). -
é o fator pré‑exponencial (unidade: ); é uma constante experimental para o sistema. -
é a energia de ativação (unidade: ). -
é a constante dos gases: . -
é a temperatura absoluta em kelvin ( ). Para converter graus Celsius em kelvin:
Convertemos as temperaturas do enunciado:
Passo 3
Aplicando a lei de Arrhenius para
, o coeficiente de difusão pedido em (a) é
Isto é a expressão exata; para obter um número você deve substituir os valores de
e
(e usar
e
).
Observação prática sobre unidades: se
estiver em
e
em
, então
sai em
. Mantenha consistência de unidades.
Passo 4
Agora vamos entender a parte (b): quando dois perfis de difusão (num semi‑espaço com concentração de superfície constante, por exemplo) são comparados, as soluções da equação de difusão para concentração
costumam depender da variável adimensional
Isto significa que, para uma mesma posição
, o valor de
é igual se o produto
for igual nos dois casos. Esse é o princípio de similaridade para a solução tipo função erro (erf) da difusão unidimensional em semi‑infinito. Portanto, para obter a mesma concentração em um mesmo ponto
:
onde
e
. Assim:
Importante: como é razão de tempos, se você der
em horas,
virá em horas também (não é necessário converter para segundos para usar a razão), desde que
e
estejam na mesma unidade.
Passo 5
Agora substituímos
e
pelas expressões de Arrhenius. Temos
Portanto o tempo requerido a
é
Passo 6
Substituindo os valores numéricos de
e
(em kelvin) obtemos as fórmulas finais prontas para uso numérico:
Para (a):
Para (b), com
:
Procedimento prático para obter números:
- Pegue
e da tabela/livro (unidades: em , em ). - Calcule
usando a fórmula do passo (a). - Calcule o expoente da fórmula do passo (b) e avalie
. Como dica: o expoente normalmente será negativo (porque ), logo , ou seja, a difusão é mais rápida a .
Resposta
(a)
(b)