5.35 (a) Calcule o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a 450^{\circ} \mathrm{C}.
(b) Qual é o tempo exigido a 550^{\circ} \mathrm{C} para produzir o mesmo resultado de difusão (em termos da concentração em um ponto específico) ao obtido após 15 horas a 450^{\circ} \mathrm{C} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Calcular o coeficiente de difusão para o magnésio no alumínio a 450^\circ\mathrm{C}.
  2. (b) Determinar o tempo a 550^\circ\mathrm{C} que produz o mesmo resultado de difusão (em termos de concentração num mesmo ponto) que o obtido após 15 horas a 450^\circ\mathrm{C}.
Informações dadas no enunciado:
  • Temperatura inicial T_1 = 450^\circ\mathrm{C}.
  • Tempo associado ao caso inicial t_1 = 15\\ \mathrm{h}.
  • Temperatura do segundo caso T_2 = 550^\circ\mathrm{C}.
Informações que faltam e que são essenciais para um cálculo numérico:
  • O fator pré‑exponencial D_0 (unidade tipicamente \mathrm{m}^2/\mathrm{s}) para difusão de Mg em Al.
  • A energia de ativação Q (unidade tipicamente \mathrm{J/mol} ou \mathrm{kJ/mol}) para essa difusão.
Sem D_0 e Q não é possível fornecer um valor numérico para o coeficiente de difusão em (a) nem para o tempo numérico em (b). Vou, portanto, apresentar o procedimento passo a passo e as fórmulas finais que você pode usar substituindo D_0 e Q pelos valores da tabela do seu livro/aula.

Passo 2

A relação que liga o coeficiente de difusão à temperatura é a lei de Arrhenius:
D(T)=D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T}\right).
Explicando cada símbolo:
  • D(T) é o coeficiente de difusão à temperatura absoluta T (unidade: \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
  • D_0 é o fator pré‑exponencial (unidade: \mathrm{m}^2/\mathrm{s}); é uma constante experimental para o sistema.
  • Q é a energia de ativação (unidade: \mathrm{J/mol}).
  • R é a constante dos gases: R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
  • T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}). Para converter graus Celsius em kelvin:
T\;(\mathrm{K}) = T\;(^\circ\mathrm{C}) + 273{,}15.
Convertemos as temperaturas do enunciado:
T_1 = 450 + 273{,}15 = 723{,}15\\ \mathrm{K}, \qquad T_2 = 550 + 273{,}15 = 823{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Aplicando a lei de Arrhenius para T_1, o coeficiente de difusão pedido em (a) é
D(T_1)=D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T_1}\right).
Isto é a expressão exata; para obter um número você deve substituir os valores de D_0 e Q (e usar T_1=723{,}15\\ \mathrm{K} e R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}).
Observação prática sobre unidades: se D_0 estiver em \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e Q em \mathrm{J/mol}, então D(T) sai em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Mantenha consistência de unidades.

Passo 4

Agora vamos entender a parte (b): quando dois perfis de difusão (num semi‑espaço com concentração de superfície constante, por exemplo) são comparados, as soluções da equação de difusão para concentração C(x,t) costumam depender da variável adimensional
\eta=\dfrac{x}{\sqrt{D\,t}}.
Isto significa que, para uma mesma posição x, o valor de C é igual se o produto D\,t for igual nos dois casos. Esse é o princípio de similaridade para a solução tipo função erro (erf) da difusão unidimensional em semi‑infinito. Portanto, para obter a mesma concentração em um mesmo ponto x:
D_1\,t_1 = D_2\,t_2,
onde D_1=D(T_1) e D_2=D(T_2). Assim:
t_2 = t_1\,\dfrac{D_1}{D_2}.
Importante: como é razão de tempos, se você der t_1 em horas, t_2 virá em horas também (não é necessário converter para segundos para usar a razão), desde que t_1 e t_2 estejam na mesma unidade.

Passo 5

Agora substituímos D_1 e D_2 pelas expressões de Arrhenius. Temos
\frac{D_1}{D_2} = \frac{D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T_1}\right)}{D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T_2}\right)} = \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)\right).
Portanto o tempo requerido a T_2 é
t_2 = t_1\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R}\left(\dfrac{1}{T_1}-\dfrac{1}{T_2}\right)\right).

Passo 6

Substituindo os valores numéricos de T_1 e T_2 (em kelvin) obtemos as fórmulas finais prontas para uso numérico:
Para (a):
D(450^\circ\mathrm{C}) = D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\cdot 723{,}15}\right).
Para (b), com t_1=15\\ \mathrm{h}:
t(550^\circ\mathrm{C}) = 15\\ \mathrm{h}\;\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R}\!\left(\dfrac{1}{723{,}15}-\dfrac{1}{823{,}15}\right)\right).
Procedimento prático para obter números:
  1. Pegue D_0 e Q da tabela/livro (unidades: D_0 em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, Q em \mathrm{J/mol}).
  2. Calcule D(450^\circ\mathrm{C}) usando a fórmula do passo (a).
  3. Calcule o expoente da fórmula do passo (b) e avalie t(550^\circ\mathrm{C}). Como dica: o expoente normalmente será negativo (porque T_2>T_1), logo t(550^\circ\mathrm{C})<15\\ \mathrm{h}, ou seja, a difusão é mais rápida a 550^\circ\mathrm{C}.

Resposta

(a) D(450^\circ\mathrm{C}) = D_0\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\cdot 723{,}15}\right).
(b) t(550^\circ\mathrm{C}) = 15\\ \mathrm{h}\;\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R}\!\left(\dfrac{1}{723{,}15}-\dfrac{1}{823{,}15}\right)\right).

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