5.24 Em qual temperatura o coeficiente de difusão para a wu difusão do níquel no cobre tem um valor de 4,0 \times 10^{-17} \mathrm{m}^{2} / \mathrm{s} ? Use os dados de difusão na Tabela 5.2.

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em qual temperatura o coeficiente de difusão para a wu difusão do níquel no cobre tem um valor de 4,0\times 10^{-17}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}?”
Informações relevantes dadas no enunciado: o valor desejado do coeficiente de difusão é \;D=4{,}0\times 10^{-17}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. O enunciado pede para usar os dados da Tabela 5.2 (isto é, os parâmetros de difusão para Ni em Cu).
Observação importante: a Tabela 5.2, que contém os parâmetros necessários (normalmente o pré-exponencial \;D_0 e a energia de ativação \;Q para Ni em Cu), não foi enviada junto com o enunciado. Sem os valores de \;D_0 e \;Q eu não posso calcular numericamente a temperatura pedida. Abaixo eu mostro todo o método passo a passo para você aplicar imediatamente quando tiver \;D_0 e \;Q da Tabela 5.2.

Passo 2

Princípio físico e fórmula que usamos: o coeficiente de difusão segue a lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right).
Explicando cada termo:
  • \;D é o coeficiente de difusão que você deseja (unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}). Aqui \;D=4{,}0\times10^{-17}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • \;D_0 é o fator pré-exponencial (ou constante pré-exponencial) — unidade \mathrm{m}^2/\mathrm{s}. Esse valor vem da Tabela 5.2 para Ni em Cu.
  • \;Q é a energia de ativação para difusão (unidade \mathrm{J/mol}). Também vem da Tabela 5.2.
  • \;R é a constante dos gases: \;R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • \;T é a temperatura absoluta em kelvin ( \mathrm{K}), que queremos encontrar.
Intuição física curta: para uma dada D pequena, espera-se uma temperatura relativamente baixa; D_0 e Q determinam quão sensível é D à temperatura.

Passo 3

Isolando a temperatura \;T. Vamos manipular a fórmula passo a passo (a ideia é tirar o exponencial aplicando logaritmo natural):
Começamos com
D = D_0 \exp\!\left(-\frac{Q}{R\,T}\right).
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln D = \ln D_0 - \frac{Q}{R\,T}.
Agora isolamos o termo com T:
\frac{Q}{R\,T} = \ln D_0 - \ln D.
Invertendo e resolvendo para T:
T = \frac{Q}{R\left(\ln D_0 - \ln D\right)}.
Você pode também escrever \ln D_0 - \ln D = \ln\!\left(\dfrac{D_0}{D}\right), então:
T = \frac{Q}{R\,\ln\!\left(\dfrac{D_0}{D}\right)}.
Esse é o passo algebraico essencial: uma vez conhecidos \;D_0 e \;Q, basta calcular o logaritmo e obter T.

Passo 4

Unidades e cuidados práticos (importante para a prova):
  • Certifique-se de que \;Q esteja em joules por mol ( \mathrm{J/mol}). Se a tabela der \;Q em \mathrm{kJ/mol}, multiplique por 1000.
  • Use \;R=8{,}314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Use \;D_0 e \;D nas mesmas unidades ( \mathrm{m}^2/\mathrm{s}), o que normalmente já estará ok.
  • O resultado \;T vem em kelvin; para converter para Celsius faça \;T(^{\circ}\mathrm{C}) = T(\mathrm{K}) - 273{,}15.

Passo 5

Exemplo numérico demonstrativo (ATENÇÃO: estes valores são hipotéticos, só para mostrar os cálculos; substitua pelos valores reais da Tabela 5.2 para Ni em Cu):
Suponha hipoteticamente que a tabela desse \;D_0 = 1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s} e \;Q = 2{,}0\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}. Queremos \;D=4{,}0\times10^{-17}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  1. Calcule \ln\!\left(\dfrac{D_0}{D}\right):
\ln\!\left(\frac{1{,}0\times10^{-4}}{4{,}0\times10^{-17}}\right)=\ln\!\left(2{,}5\times10^{12}\right)\approx \ln(2{,}5)+12\ln(10)\approx 0{,}9163 + 12\times2{,}3026\approx 28{,}46.
  1. Use a fórmula para T:
T=\frac{2{,}0\times10^{5}}{8{,}314\times28{,}46}\approx\frac{2{,}0\times10^{5}}{236{,}6}\approx845{,}7\\ \mathrm{K}.
  1. Converter para Celsius:
T(^{\circ}\mathrm{C})\approx845{,}7 - 273{,}15 \approx 572{,}6\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
Repare que isto é apenas um exemplo de cálculo com valores inventados para mostrar o procedimento e as contas que você deve fazer na prova com os dados corretos.

Passo 6

Resumo do procedimento que você deve executar na prova (passo-a-passo prático, para fazer rápido e sem erro):
  1. Pegue da Tabela 5.2 os valores de \;D_0 e \;Q para Ni em Cu.
  2. Certifique-se das unidades ( \;Q em \mathrm{J/mol}, \;D_0 em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}).
  3. Calcule \ln\!\left(\dfrac{D_0}{D}\right) com D=4{,}0\times10^{-17}.
  4. Calcule \;T=\dfrac{Q}{R\,\ln\!\left(D_0/D\right)}.
  5. Se preciso, converta \;T de kelvin para graus Celsius.
Você consegue — segue o método direto e limpo para aplicar com os números da Tabela 5.2.

Resposta

Não é possível determinar numericamente a temperatura porque os valores de \;D_0 e \;Q para o sistema Ni em Cu da Tabela 5.2 não foram fornecidos.

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