5.17 Considere um par de difusão composto por duas ligas cobalto-ferro; uma possui uma composição de 75 \% \mathrm{p} Co-25 %p Fe; a composição da outra liga é 50 \% p Co-50 \% \mathrm{p} \mathrm{Fe}. Se esse par for aquecido a uma temperatura de 800^{\circ} \mathrm{C}(1073 \mathrm{~K}) durante 20.000 s , determine a que distância da interface original para dentro da liga com 50 %p Co-50 %p Fe a composição terá aumentado para 52 \% p Co-48 \% p Fe. Para o coeficiente de difusão, considere os valores de 6,6 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e 247.000 \mathrm{~J} / \mathrm{mol}, respectivamente, para a constante pré-exponencial e a energia de ativação.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a que distância, a partir da interface original e para dentro da liga com 50\% atômico Co - 50\% atômico Fe, a composição de cobalto aumenta até 52\% atômico Co quando o par de ligas (a outra é 75\% Co - 25\% Fe) é aquecido a 800^\circ\mathrm{C} durante 20\,000\\ \mathrm{s}.\n
Informações fornecidas (vou listar todas, com unidades):
\begin{aligned} &\text{Temperatura: }T=1073\\ \mathrm{K},\\\ &\text{Tempo: }t=20\,000\\ \mathrm{s},\\\ &\text{Composição à esquerda (x<0): }C_L=75\%\\ \text{Co} = 0,75,\\\ &\text{Composição à direita (x>0): }C_R=50\%\\ \text{Co} = 0,50,\\\ &\text{Composição alvo (na região direita): }C=52\%\\ \text{Co} = 0,52,\\\ &\text{Constante pré-exponencial: }D_0=6{,}6\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s},\\\ &\text{Energia de ativação: }Q=247\,000\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol}. \end{aligned}çãàçãàçããéçã

Passo 2

Calcular o coeficiente de difusão D a T usando a lei de Arrhenius:
D = D_0 \exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T}\right),
onde R é a constante dos gases ideais R=8{,}314\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol\cdot K}.\n
Explico: essa fórmula diz que a mobilidade atômica (coeficiente de difusão) cresce exponencialmente com a temperatura; D_0 é uma escala (magnitude) e Q é a barreira energética para que os átomos se movam. Todas as variáveis:
\begin{aligned} &D_0\\ \text{(magnitude em }\mathrm{m}^2/\mathrm{s}),\\\ &Q\\ \text{(energia em }\mathrm{J}/\mathrm{mol}),\\\ &R=8{,}314\\ \mathrm{J}/\mathrm{mol\cdot K},\\\ &T\\ \text{(em K)}. \end{aligned}
Agora os cálculos passo a passo:
\dfrac{Q}{R\,T}=\dfrac{247\,000}{8{,}314\times 1073}\approx 27{,}68.
\exp\!\left(-\dfrac{Q}{R\,T}\right)\approx e^{-27{,}68}\approx 9{,}52\times 10^{-13}.
D = 6{,}6\times 10^{-6}\times 9{,}52\times 10^{-13}\approx 6{,}28\times 10^{-18}\\ \mathrm{m}^2\!/\mathrm{s}.

Passo 3

Escolher a solução de difusão apropriada e explicá-la. Para um contato inicial em que a composição tem um salto descontinuo na interface x=0 (isto é, corte nítido entre C_L e C_R) e assumindo coeficiente D constante e meios semi-infinitos, a solução da equação de difusão (liga binária, solução de passo) é:
C(x,t)=C_L + (C_R-C_L)\,\dfrac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)\right].
O que isto significa:
  • x é a coordenada medida a partir da interface original, com x>0 apontando para dentro da liga que inicialmente era C_R ( 50\% Co).
  • \operatorname{erf} é a função erro; ela descreve a forma típica de perfil difusivo (curva suave que vai de -1 a +1).
  • Em x\to -\infty obtemos C_L e em x\to +\infty obtemos C_R. Em x=0 o valor é (C_L+C_R)/2.\n
    Agora vamos usar essa fórmula com nossos C_L=0{,}75, C_R=0{,}50, C=0{,}52 e o D calculado.

Passo 4

Resolver a equação para a posição x tal que C(x,t)=0{,}52. Primeiro reorganizo a fórmula para extrair a \operatorname{erf}:
C - C_L = (C_R-C_L)\,\dfrac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}\!\left(\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}\right)\right].
Defino \Delta = C_R - C_L = 0{,}50-0{,}75 = -0{,}25. Substituindo números:
0{,}52 - 0{,}75 = -0{,}23 = -0{,}25\cdot \dfrac{1}{2}\left[1+\operatorname{erf}(z)\right],
onde coloquei z=\dfrac{x}{2\sqrt{D\,t}}.\n
Isolando \operatorname{erf}(z):
\dfrac{-0{,}23}{-0{,}25/2} = 1+\operatorname{erf}(z).
Calculo do lado esquerdo:
\dfrac{-0{,}23}{-0{,}125} = \dfrac{0{,}23}{0{,}125}=1{,}84.
Logo
1{,}84 = 1 + \operatorname{erf}(z)\quad\Rightarrow\quad \operatorname{erf}(z)=0{,}84.

Passo 5

Encontrar z=\operatorname{erf}^{-1}(0{,}84). Explico: a função erro \operatorname{erf}(u) é tabulada; valores conhecidos: \operatorname{erf}(1)=0{,}842700\ldots. Como 0{,}84 é ligeiramente menor que 0{,}8427, isso implica que
z=\operatorname{erf}^{-1}(0{,}84)\approx 0{,}995\\ (\text{aprox. }0{,}99\text{ a }1{,}00).
Observação didática: em prova você pode usar tabela de \operatorname{erf} ou calculadora científica com \operatorname{erf}^{-1}. Uma boa aproximação prática é comparar com \operatorname{erf}(1) e interpolar.

Passo 6

Calcular \sqrt{D\,t} com D e t já conhecidos:
D\,t = 6{,}28\times 10^{-18}\times 20\,000 = 1{,}256\times 10^{-13}\\ \mathrm{m}^2.
\sqrt{D\,t}=\sqrt{1{,}256\times 10^{-13}}\approx 3{,}548\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Expliquei: primeiro multipliquei D pelo tempo para obter a escala quadrática (m^2), depois tirei raiz para ter a escala em metros.

Passo 7

Calcular a posição x:
x = 2\,z\,\sqrt{D\,t}.
Substituindo z\approx 0{,}995 e \sqrt{D\,t}\approx 3{,}548\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}:
x \approx 2\times 0{,}995 \times 3{,}548\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} \approx 7{,}06\times 10^{-7}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros:
x \approx 0{,}706\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 8

Resumo físico e nota para a prova: obtivemos x muito pequeno (ordem de 10^{-7}\\ \mathrm{m}), o que faz sentido porque a difusão a 800^\circ\mathrm{C} para esses elementos com alta energia de ativação é lenta. Assuma sempre, em questões de prova, as hipóteses: D constante (checar se isso é pedido), meios semi-infinitos e condição inicial de passo. Se o enunciado permitir, use a solução por função erro que mostrei; ela é o caminho mais direto e seguro para esse tipo de problema. Força aí — com essas etapas você resolve questões semelhantes rapidinho na prova!

Resposta

x \approx 7{,}06\times 10^{-7}\\ \mathrm{m} \approx 0{,}706\\ \mu\mathrm{m}

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