5.17 Considere um par de difusão composto por duas ligas cobalto-ferro; uma possui uma composição de
Co-25 %p Fe; a composição da outra liga é
p Co-50
. Se esse par for aquecido a uma temperatura de
durante 20.000 s , determine a que distância da interface original para dentro da liga com 50 %p Co-50 %p Fe a composição terá aumentado para
p Co-48
p Fe. Para o coeficiente de difusão, considere os valores de
e
, respectivamente, para a constante pré-exponencial e a energia de ativação.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a que distância, a partir da interface original e para dentro da liga com
atômico Co
atômico Fe, a composição de cobalto aumenta até
atômico Co quando o par de ligas (a outra é
Co
Fe) é aquecido a
durante
.\n
Informações fornecidas (vou listar todas, com unidades):
Informações fornecidas (vou listar todas, com unidades):
Passo 2
Calcular o coeficiente de difusão
a
usando a lei de Arrhenius:
onde
é a constante dos gases ideais
.\n
Explico: essa fórmula diz que a mobilidade atômica (coeficiente de difusão) cresce exponencialmente com a temperatura; é uma escala (magnitude) e
é a barreira energética para que os átomos se movam. Todas as variáveis:
Explico: essa fórmula diz que a mobilidade atômica (coeficiente de difusão) cresce exponencialmente com a temperatura;
Agora os cálculos passo a passo:
Passo 3
Escolher a solução de difusão apropriada e explicá-la. Para um contato inicial em que a composição tem um salto descontinuo na interface
(isto é, corte nítido entre
e
) e assumindo coeficiente
constante e meios semi-infinitos, a solução da equação de difusão (liga binária, solução de passo) é:
O que isto significa:
-
é a coordenada medida a partir da interface original, com apontando para dentro da liga que inicialmente era ( Co). -
é a função erro; ela descreve a forma típica de perfil difusivo (curva suave que vai de a ). - Em
obtemos e em obtemos . Em o valor é .\n
Agora vamos usar essa fórmula com nossos, , e o calculado.
Passo 4
Resolver a equação para a posição
tal que
. Primeiro reorganizo a fórmula para extrair a
:
Defino
. Substituindo números:
onde coloquei
.\n
Isolando :
Isolando
Calculo do lado esquerdo:
Logo
Passo 5
Encontrar
. Explico: a função erro
é tabulada; valores conhecidos:
. Como
é ligeiramente menor que
, isso implica que
Observação didática: em prova você pode usar tabela de
ou calculadora científica com
. Uma boa aproximação prática é comparar com
e interpolar.
Passo 6
Calcular
com
e
já conhecidos:
Expliquei: primeiro multipliquei
pelo tempo para obter a escala quadrática (m^2), depois tirei raiz para ter a escala em metros.
Passo 7
Calcular a posição
:
Substituindo
e
:
Converter para micrômetros:
Passo 8
Resumo físico e nota para a prova: obtivemos
muito pequeno (ordem de
), o que faz sentido porque a difusão a
para esses elementos com alta energia de ativação é lenta. Assuma sempre, em questões de prova, as hipóteses:
constante (checar se isso é pedido), meios semi-infinitos e condição inicial de passo. Se o enunciado permitir, use a solução por função erro que mostrei; ela é o caminho mais direto e seguro para esse tipo de problema. Força aí — com essas etapas você resolve questões semelhantes rapidinho na prova!