A pergunta é: para cada m existe um n que satisfaça a desigualdade acima? Não resolvo ainda, só enumerei o que o problema dá.
Passo 2
Expressar d_{n} em forma algébrica (soma de uma série geométrica).
Por definição de representação decimal,
d_{n}=\sum_{k=1}^{n} 3\cdot 10^{-k}.
Isto é uma série geométrica finita com primeiro termo a=3\cdot10^{-1} e razão r=10^{-1}. A soma dos n primeiros termos de uma série geométrica (quando r\neq 1) é
\sum_{k=0}^{n-1} a r^{k}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Aqui é conveniente reindexar para usar essa fórmula; aplicando com a=3\cdot10^{-1} e r=10^{-1} obtemos
Manipular a desigualdade para uma forma mais conveniente (inverter termos positivos, explicando por que o sinal não muda).
Como todos os termos são positivos, podemos multiplicar ambos os lados por 3 e inverter os lados com controle do sinal. Primeiro multiplicando por 3:
10^{-n}<\frac{3}{m}.
Como 10^{-n}=1/10^{n} e ambos lados são positivos, inverter dá
10^{n}>\frac{m}{3}.
(Explicação rápida: para a,b>0, a<b é equivalente a 1/a>1/b, mas aqui optei por passar para 10^{n} porque é mais intuitivo pensar em potências de 10.)
Passo 5
Mostrar que tal n existe para qualquer m: escolha construtiva usando o número de dígitos de m.
Todo inteiro positivo m tem um número finito de dígitos em base 10. Se m tem d dígitos, então
10^{d-1}\le m<10^{d}.
Da segunda desigualdade segue 10^{d}>m. Então, escolhendo n=d obtemos
10^{n}=10^{d}>m\ge\frac{m}{3},
logo 10^{n}>\dfrac{m}{3}. Assim o n escolhido satisfaz a condição obtida no passo anterior, portanto satisfaz a desigualdade original:
\frac{1}{3}-d_{n}<\frac{1}{m}.
Observação alternativa (mais direta): como 10^{n}\to\infty quando n\to\infty, para qualquer número real positivo (aqui \tfrac{m}{3}) existe n tal que 10^{n}>\tfrac{m}{3}. A escolha do número de dígitos acima é uma forma elementar e explícita dessa ideia.
Passo 6
Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
Se m=1, pegando n=1 temos d_{1}=0,3 e \tfrac{1}{3}-d_{1}=\tfrac{1}{30}<1.
Se m=100, m tem d=3 dígitos; com n=3 temos \frac{1}{3}-d_{3}=\frac{1}{3}\cdot10^{-3}=\frac{1}{3000}<\frac{1}{100}.
Esses exemplos confirmam o raciocínio geral.
Passo 7
Conclusão final: para cada m\in\mathbb{N}^{*} é possível escolher n\in\mathbb{N}^{*} (por exemplo, n igual ao número de dígitos de m) tal que a desigualdade do enunciado seja satisfeita. Portanto a afirmação é verdadeira.