• 35 - Determine se são verdadeiras ou falsas:
    \forall m \in \mathbb{N}^{*}, \exists n \in \mathbb{N}^{*} tal que
\frac{1}{3}-0, \underbrace{33 \ldots 3}_{n \text { dígitos }}<\frac{1}{m}í

Passo 1

O enunciado pede que se determine se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa:
Para todo m\in\mathbb{N}^{*} existe n\in\mathbb{N}^{*} tal que
\frac{1}{3}-0,\underbrace{33\ldots3}_{n\text{ dígitos}}<\frac{1}{m}.í
Informações dadas e notação que vou usar:
  • m é um inteiro positivo arbitrário (fixado).
  • Defino d_{n} como o decimal com n algarismos 3 depois da vírgula, isto é
d_{n}=0,\underbrace{33\ldots3}_{n\text{ dígitos}}.í
  • A pergunta é: para cada m existe um n que satisfaça a desigualdade acima? Não resolvo ainda, só enumerei o que o problema dá.

Passo 2

Expressar d_{n} em forma algébrica (soma de uma série geométrica).
Por definição de representação decimal,
d_{n}=\sum_{k=1}^{n} 3\cdot 10^{-k}.
Isto é uma série geométrica finita com primeiro termo a=3\cdot10^{-1} e razão r=10^{-1}. A soma dos n primeiros termos de uma série geométrica (quando r\neq 1) é
\sum_{k=0}^{n-1} a r^{k}=a\frac{1-r^{n}}{1-r}.
Aqui é conveniente reindexar para usar essa fórmula; aplicando com a=3\cdot10^{-1} e r=10^{-1} obtemos
d_{n}=3\cdot10^{-1}\cdot\frac{1-(10^{-1})^{n}}{1-10^{-1}}.
Calculemos o denominador 1-10^{-1}=1-\tfrac{1}{10}=\tfrac{9}{10}. Substituindo e simplificando:
d_{n}=3\cdot10^{-1}\cdot\frac{1-10^{-n}}{9/10} =3\cdot10^{-1}\cdot\frac{10}{9}\bigl(1-10^{-n}\bigr) =\frac{3}{9}\bigl(1-10^{-n}\bigr) =\frac{1}{3}\bigl(1-10^{-n}\bigr).

Passo 3

Calcular a diferença que aparece na desigualdade usando a expressão de d_{n}.
\frac{1}{3}-d_{n}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\bigl(1-10^{-n}\bigr) =\frac{1}{3}\,10^{-n}.
Então a desigualdade do enunciado
\frac{1}{3}-d_{n}<\frac{1}{m}
equivale a
\frac{1}{3}\,10^{-n}<\frac{1}{m}.

Passo 4

Manipular a desigualdade para uma forma mais conveniente (inverter termos positivos, explicando por que o sinal não muda).
Como todos os termos são positivos, podemos multiplicar ambos os lados por 3 e inverter os lados com controle do sinal. Primeiro multiplicando por 3:
10^{-n}<\frac{3}{m}.
Como 10^{-n}=1/10^{n} e ambos lados são positivos, inverter dá
10^{n}>\frac{m}{3}.
(Explicação rápida: para a,b>0, a<b é equivalente a 1/a>1/b, mas aqui optei por passar para 10^{n} porque é mais intuitivo pensar em potências de 10.)

Passo 5

Mostrar que tal n existe para qualquer m: escolha construtiva usando o número de dígitos de m.
Todo inteiro positivo m tem um número finito de dígitos em base 10. Se m tem d dígitos, então
10^{d-1}\le m<10^{d}.
Da segunda desigualdade segue 10^{d}>m. Então, escolhendo n=d obtemos
10^{n}=10^{d}>m\ge\frac{m}{3},
logo 10^{n}>\dfrac{m}{3}. Assim o n escolhido satisfaz a condição obtida no passo anterior, portanto satisfaz a desigualdade original:
\frac{1}{3}-d_{n}<\frac{1}{m}.
Observação alternativa (mais direta): como 10^{n}\to\infty quando n\to\infty, para qualquer número real positivo (aqui \tfrac{m}{3}) existe n tal que 10^{n}>\tfrac{m}{3}. A escolha do número de dígitos acima é uma forma elementar e explícita dessa ideia.

Passo 6

Exemplos numéricos rápidos para ganhar intuição:
  • Se m=1, pegando n=1 temos d_{1}=0,3 e \tfrac{1}{3}-d_{1}=\tfrac{1}{30}<1.
  • Se m=100, m tem d=3 dígitos; com n=3 temos \frac{1}{3}-d_{3}=\frac{1}{3}\cdot10^{-3}=\frac{1}{3000}<\frac{1}{100}.
Esses exemplos confirmam o raciocínio geral.

Passo 7

Conclusão final: para cada m\in\mathbb{N}^{*} é possível escolher n\in\mathbb{N}^{*} (por exemplo, n igual ao número de dígitos de m) tal que a desigualdade do enunciado seja satisfeita. Portanto a afirmação é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

Exercícios relacionados