- 35 - Determine se são verdadeiras ou falsas:
Passo 1
O enunciado afirma:
O que nos é dado:
-
é um número real positivo arbitrário. - Queremos achar (provar existir) um
que dependa de . - Para esse
deve valer: para todo , se então .
O que o enunciado pede: determinar se a afirmação (com os quantificadores na ordem dada) é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Reescrevendo as desigualdades usando valor absoluto para ficar mais claro:
A condição é equivalente a
A condição
A conclusão
é equivalente a
Logo a implicação é
Passo 3
Simplificar a expressão
em função de
:
Portanto a implicação desejada fica
Passo 4
Raciocínio prático: se para todo
com
tivermos
, então basta garantir que o maior valor possível de
quando
seja menor que
. O maior valor (limite superior) de
sob a hipótese
é estritamente menor que
. Assim uma condição suficiente é
ou seja
Passo 5
Agora mostramos que tal
existe para qualquer
. Como
, tem-se
. Pela propriedade arquimediana dos reais (ou simplesmente tomando o teto), existe
tal que
Isso é equivalente a
Por exemplo pode-se escolher explicitamente
, que é um natural maior que
.
Passo 6
Com esse
escolhido vale
. Então, para todo
com
segue
ou seja
, que é exatamente
. Portanto a implicação é verdadeira para esse
. Como
era arbitrário, a afirmação com os quantificadores dados é verdadeira.
Resposta
Verdadeira.