• 35 - Determine se são verdadeiras ou falsas:
    \forall r \in \mathbb{R}, r>0, \exists n \in \mathbb{N} \mid \forall x \in \mathbb{R}
1-\frac{1}{n}<x<1+\frac{1}{n} \Rightarrow 2-r<2 x<2+r

Passo 1

O enunciado afirma:
\forall r\in\mathbb{R},\\ r>0,\\ \exists n\in\mathbb{N}\\ \mid\\ \forall x\in\mathbb{R}\qquad 1-\frac{1}{n}<x<1+\frac{1}{n}\Rightarrow 2-r<2x<2+r.
O que nos é dado:
  • r é um número real positivo arbitrário.
  • Queremos achar (provar existir) um n\in\mathbb{N} que dependa de r.
  • Para esse n deve valer: para todo x\in\mathbb{R}, se 1-\dfrac{1}{n}<x<1+\dfrac{1}{n} então 2-r<2x<2+r.
O que o enunciado pede: determinar se a afirmação (com os quantificadores na ordem dada) é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Reescrevendo as desigualdades usando valor absoluto para ficar mais claro:
A condição 1-\dfrac{1}{n}<x<1+\dfrac{1}{n} é equivalente a
|x-1|<\frac{1}{n}.
A conclusão 2-r<2x<2+r é equivalente a
|2x-2|<r.
Logo a implicação é
|x-1|<\frac{1}{n}\quad\Rightarrow\quad |2x-2|<r.

Passo 3

Simplificar a expressão |2x-2| em função de |x-1|:
|2x-2| = 2\,|x-1|.
Portanto a implicação desejada fica
|x-1|<\frac{1}{n}\quad\Rightarrow\quad 2\,|x-1|<r.

Passo 4

Raciocínio prático: se para todo x com |x-1|<\dfrac{1}{n} tivermos 2\,|x-1|<r, então basta garantir que o maior valor possível de 2|x-1| quando |x-1|<\dfrac{1}{n} seja menor que r. O maior valor (limite superior) de 2|x-1| sob a hipótese |x-1|<\dfrac{1}{n} é estritamente menor que 2\cdot\dfrac{1}{n}. Assim uma condição suficiente é
2\cdot\frac{1}{n}<r,
ou seja
\frac{1}{n}<\frac{r}{2}.

Passo 5

Agora mostramos que tal n existe para qualquer r>0. Como r>0, tem-se \dfrac{r}{2}>0. Pela propriedade arquimediana dos reais (ou simplesmente tomando o teto), existe n\in\mathbb{N} tal que
n>\frac{2}{r}.
Isso é equivalente a
\frac{1}{n}<\frac{r}{2}.
Por exemplo pode-se escolher explicitamente n=\left\lfloor\frac{2}{r}\right\rfloor+1, que é um natural maior que \dfrac{2}{r}.

Passo 6

Com esse n escolhido vale \dfrac{1}{n}<\dfrac{r}{2}. Então, para todo x com |x-1|<\dfrac{1}{n} segue
2|x-1|<2\cdot\frac{1}{n}<2\cdot\frac{r}{2}=r,
ou seja |2x-2|<r, que é exatamente 2-r<2x<2+r. Portanto a implicação é verdadeira para esse n. Como r>0 era arbitrário, a afirmação com os quantificadores dados é verdadeira.

Resposta

Verdadeira.

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