Determine o valor verdade da proposição abaixo:
Passo 1
O enunciado fornece a proposição
Vou listar claramente o que isso diz e quais são as informações dadas:
- As variáveis
e variam sobre os números reais positivos (isto é, e ). - A variável
varia sobre os reais (o enunciado não restringe , então assume-se ). - A proposição pergunta se, para todo
, existe algum (possivelmente dependente de ) tal que a implicação seja verdadeira para todo .
Passo 2
Entendimento dos quantificadores e do que precisa ser provado:
- A quantificação externa
exige que a propriedade valha para cada escolha de . - Para cada
escolhido, podemos escolher um que dependa de (é permitido). - Depois de fixados
e , a condição deve ser verdadeira para todo .
Portanto, a tarefa é: dado um, construir (ou mostrar a existência de) um que garanta que toda menor que satisfaça .
Passo 3
Ideia simples e natural para o método: a desigualdade desejada envolve
e
. A partir da hipótese
podemos multiplicar por
(multiplicação por positivo preserva desigualdade estrita) e obter
Se conseguirmos escolher
de modo que
(na verdade basta que
ou que
), então a cadeia implicará
. Logo uma escolha óbvia é fazer
, isto é,
.
Passo 4
Verificação da escolha
:
- Primeiro, se
então . Logo é admissível. - Agora, parti do fato lógico: se
então, multiplicando por ,
Passo 5
Substituindo a escolha
no lado direito:
- Com
tem-se . - Assim, a desigualdade do Passo 4 fica
- Portanto, sempre que
com obtemos . A implicação é estritamente válida (não há problemas com igualdade, porque partimos de — estrita — e multiplicamos por ).
Passo 6
Conclusão lógica formal:
- Dado qualquer
escolhemos . - Para esse
, mostramos que para todo vale . - Portanto a fórmula
é verdadeira.
Passo 7
Comentários didáticos e variações:
- Qualquer
com também funciona, pois então e a mesma cadeia de desigualdades vale. - Intuição: a proposição é parecida com uma versão simples de argumento epsilon-delta (controle linear) onde o fator
faz com que seja natural escolher proporcional a (aqui ). - Não há necessidade de restringir
por baixo; mesmo que seja muito negativo, a implicação continua válida (a condição só exige verificar que satisfaçam ).
Resposta
Verdadeira.