Determine o valor verdade da proposição abaixo:
\forall e>0, \exists d>0 \mid \forall x, x<1+d \Rightarrow 2 x<2+e

Passo 1

O enunciado fornece a proposição
\forall e>0,\; \exists d>0 \mid \forall x,\; x<1+d \Rightarrow 2x<2+e.
Vou listar claramente o que isso diz e quais são as informações dadas:
  • As variáveis e e d variam sobre os números reais positivos (isto é, e>0 e d>0).
  • A variável x varia sobre os reais (o enunciado não restringe x, então assume-se \,x\in\mathbb{R}\,).
  • A proposição pergunta se, para todo e>0, existe algum d>0 (possivelmente dependente de e) tal que a implicação x<1+d \Rightarrow 2x<2+eseja verdadeira para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Entendimento dos quantificadores e do que precisa ser provado:
  • A quantificação externa \forall e>0 exige que a propriedade valha para cada escolha de e>0.
  • Para cada e escolhido, podemos escolher um d que dependa de e (é permitido).
  • Depois de fixados e e d, a condição \forall x\\ (x<1+d \Rightarrow 2x<2+e) deve ser verdadeira para todo x.
    Portanto, a tarefa é: dado um e>0, construir (ou mostrar a existência de) um d>0 que garanta que toda x menor que 1+d satisfaça 2x<2+e.

Passo 3

Ideia simples e natural para o método: a desigualdade desejada envolve 2x e 2+e. A partir da hipótese x<1+d podemos multiplicar por 2 (multiplicação por positivo preserva desigualdade estrita) e obter
2x<2(1+d)=2+2d.
Se conseguirmos escolher d>0 de modo que 2+2d\le 2+e (na verdade basta que 2+2d=2+e ou que 2+2d<2+e), então a cadeia implicará 2x<2+e. Logo uma escolha óbvia é fazer 2d=e, isto é, d=\dfrac{e}{2}.

Passo 4

Verificação da escolha d=\dfrac{e}{2}:
  • Primeiro, se e>0 então d=\dfrac{e}{2}>0. Logo d é admissível.
  • Agora, parti do fato lógico: se x<1+d então, multiplicando por 2, 2x<2+2d.

Passo 5

Substituindo a escolha d=\dfrac{e}{2} no lado direito:
  • Com d=\dfrac{e}{2} tem-se 2+2d=2+2\cdot\frac{e}{2}=2+e.
  • Assim, a desigualdade do Passo 4 fica 2x<2+2d=2+e.
  • Portanto, sempre que x<1+d com d=\dfrac{e}{2} obtemos 2x<2+e. A implicação é estritamente válida (não há problemas com igualdade, porque partimos de x<1+d — estrita — e multiplicamos por 2).

Passo 6

Conclusão lógica formal:
  • Dado qualquer e>0 escolhemos d=\dfrac{e}{2}>0.
  • Para esse d, mostramos que para todo x vale x<1+d \Rightarrow 2x<2+e.
  • Portanto a fórmula \forall e>0,\; \exists d>0\mid \forall x,\; x<1+d \Rightarrow 2x<2+e é verdadeira.

Passo 7

Comentários didáticos e variações:
  • Qualquer d com 0<d\le \dfrac{e}{2} também funciona, pois então 2+2d\le2+e e a mesma cadeia de desigualdades vale.
  • Intuição: a proposição é parecida com uma versão simples de argumento epsilon-delta (controle linear) onde o fator 2 faz com que seja natural escolher d proporcional a e (aqui d=e/2).
  • Não há necessidade de restringir x por baixo; mesmo que x seja muito negativo, a implicação continua válida (a condição só exige verificar x que satisfaçam x<1+d).

Resposta

Verdadeira.

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