35.3 Uma estação transmissora de rádio possui duas antenas idênticas que irradiam em fase ondas com frequência de 120 MHz . A antena B está a 9,00 \mathrm{~m} à direita da antena A. Considere um ponto P entre as antenas ao longo da reta que une as duas antenas, situado a uma distância x à direita da antena A. Para que valores de x ocorrerá interferência construtiva no ponto P ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vou listar:
  • Duas antenas idênticas, em fase, separadas por 9{,}00\\ \mathrm{m}. A antena B está 9{,}00\\ \mathrm{m} à direita da antena A.
  • A frequência das ondas é 120\\ \mathrm{MHz}.
  • Um ponto P está entre as antenas, sobre a reta que as une, a uma distância x à direita da antena A.
    Pergunta: para quais valores de x (com 0\le x\le 9{,}00\\ \mathrm{m}) ocorrerá interferência construtiva em P?

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): ondas de duas fontes em fase apresentam interferência construtiva em um ponto quando a diferença de caminhos percorridos pelas ondas até o ponto é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Escrevendo isso:
\Delta r = m\lambda
onde:
  • \Delta r é a diferença de caminho entre as ondas que chegam ao ponto;
  • \lambda é o comprimento de onda;
  • m é um número inteiro ( m=0,\pm1,\pm2,\dots).
    Isto significa: se uma onda viaja exatamente m comprimentos de onda a mais que a outra ao chegar em P, as cristas coincidem e há reforço (construtiva).

Passo 3

Expressar as distâncias do ponto P até cada antena (isso é só geometria na reta):
  • Distância até a antena A: r_A = x.
  • Distância até a antena B: r_B = 9{,}00 - x.
    A diferença de caminhos (tomando \Delta r = r_A - r_B) é:
\Delta r = x - (9{,}00 - x) = 2x - 9{,}00.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda. Fórmula básica para ondas eletromagnéticas no vácuo/ar:
\lambda = \frac{c}{f},
onde c é a velocidade da luz ( 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}) e f a frequência. Aplicando os números fornecidos:
\lambda = \frac{3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}}{120\times10^{6}\\ \mathrm{s^{-1}}}=2{,}50\\ \mathrm{m}.
Explicando: dividir 3{,}00\times10^{8} por 1{,}20\times10^{8} 2{,}50, ou seja cada ciclo da onda ocupa 2{,}50\\ \mathrm{m} no espaço.

Passo 5

Impor a condição de interferência construtiva, usando a expressão da Passo 2 e a \Delta r da Passo 3:
2x-9{,}00 = m\lambda.
Isolando x:
x=\frac{m\lambda+9{,}00}{2}.
Isto dá a posição x em função do inteiro m. Aqui \lambda já sabemos que vale 2{,}50\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Determinar os valores inteiros possíveis de m respeitando que P está entre as antenas, isto é 0\le x\le 9{,}00. Usando a fórmula para x:
0\le \frac{m\lambda+9{,}00}{2}\le 9{,}00.
Multiplicando por 2:
0\le m\lambda+9{,}00\le 18{,}00.
Subtraindo 9{,}00:
-9{,}00\le m\lambda\le 9{,}00.
Dividindo por \lambda=2{,}50:
-3{,}60\le m\le 3{,}60.
Como m é inteiro, os valores possíveis são
m\in\{-3,-2,-1,0,1,2,3\}.
(Isto significa que apenas esses m levam a valores de x que ficam entre 0 e 9{,}00\\ \mathrm{m}.)

Passo 7

Calcular x para cada m permitido usando x=(m\lambda+9{,}00)/2 com \lambda=2{,}50\\ \mathrm{m}. Vou calcular passo a passo:
  • Para m=-3:
x=\frac{-3(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{-7{,}50+9{,}00}{2}=\frac{1{,}50}{2}=0{,}750\\ \mathrm{m}.
  • Para m=-2:
x=\frac{-2(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{-5{,}00+9{,}00}{2}=\frac{4{,}00}{2}=2{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Para m=-1:
x=\frac{-1(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{-2{,}50+9{,}00}{2}=\frac{6{,}50}{2}=3{,}25\\ \mathrm{m}.
  • Para m=0:
x=\frac{0+9{,}00}{2}=4{,}50\\ \mathrm{m}.
  • Para m=1:
x=\frac{1(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{2{,}50+9{,}00}{2}=\frac{11{,}50}{2}=5{,}75\\ \mathrm{m}.
  • Para m=2:
x=\frac{2(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{5{,}00+9{,}00}{2}=\frac{14{,}00}{2}=7{,}00\\ \mathrm{m}.
  • Para m=3:
x=\frac{3(2{,}50)+9{,}00}{2}=\frac{7{,}50+9{,}00}{2}=\frac{16{,}50}{2}=8{,}25\\ \mathrm{m}.
Observação didática: os valores estão igualmente espaçados por \lambda/2=1{,}25\\ \mathrm{m}, porque ao mover x em \lambda/2 a diferença de caminho muda em \lambda (ver fórmula \Delta r=2x-9{,}00).

Passo 8

Interpretação final e formato de resposta: as posições entre as antenas onde ocorre interferência construtiva (com três algarismos significativos compatíveis com os dados) são, em metros: 0{,}750, 2{,}00, 3{,}25, 4{,}50, 5{,}75, 7{,}00, 8{,}25.

Resposta

x=0{,}750\\ \mathrm{m}
x=2{,}00\\ \mathrm{m}
x=3{,}25\\ \mathrm{m}
x=4{,}50\\ \mathrm{m}
x=5{,}75\\ \mathrm{m}
x=7{,}00\\ \mathrm{m}
x=8{,}25\\ \mathrm{m}

Exercícios relacionados