35.3 Uma estação transmissora de rádio possui duas antenas idênticas que irradiam em fase ondas com frequência de 120 MHz . A antena B está a
à direita da antena
. Considere um ponto
entre as antenas ao longo da reta que une as duas antenas, situado a uma distância
à direita da antena
. Para que valores de
ocorrerá interferência construtiva no ponto
?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que vou listar:
- Duas antenas idênticas, em fase, separadas por
. A antena está à direita da antena . - A frequência das ondas é
. - Um ponto
está entre as antenas, sobre a reta que as une, a uma distância à direita da antena .
Pergunta: para quais valores de(com ) ocorrerá interferência construtiva em ?
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): ondas de duas fontes em fase apresentam interferência construtiva em um ponto quando a diferença de caminhos percorridos pelas ondas até o ponto é um múltiplo inteiro do comprimento de onda. Escrevendo isso:
onde:
-
é a diferença de caminho entre as ondas que chegam ao ponto; -
é o comprimento de onda; -
é um número inteiro ( ).
Isto significa: se uma onda viaja exatamentecomprimentos de onda a mais que a outra ao chegar em , as cristas coincidem e há reforço (construtiva).
Passo 3
Expressar as distâncias do ponto
até cada antena (isso é só geometria na reta):
- Distância até a antena
: . - Distância até a antena
: .
A diferença de caminhos (tomando) é:
Passo 4
Calcular o comprimento de onda
. Fórmula básica para ondas eletromagnéticas no vácuo/ar:
onde
é a velocidade da luz (
) e
a frequência. Aplicando os números fornecidos:
Explicando: dividir
por
dá
, ou seja cada ciclo da onda ocupa
no espaço.
Passo 5
Impor a condição de interferência construtiva, usando a expressão da Passo 2 e a
da Passo 3:
Isolando
:
Isto dá a posição
em função do inteiro
. Aqui
já sabemos que vale
.
Passo 6
Determinar os valores inteiros possíveis de
respeitando que
está entre as antenas, isto é
. Usando a fórmula para
:
Multiplicando por
:
Subtraindo
:
Dividindo por
:
Como
é inteiro, os valores possíveis são
(Isto significa que apenas esses
levam a valores de
que ficam entre
e
.)
Passo 7
Calcular
para cada
permitido usando
com
. Vou calcular passo a passo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Observação didática: os valores estão igualmente espaçados por
, porque ao mover
em
a diferença de caminho muda em
(ver fórmula
).
Passo 8
Interpretação final e formato de resposta: as posições entre as antenas onde ocorre interferência construtiva (com três algarismos significativos compatíveis com os dados) são, em metros:
,
,
,
,
,
,
.