Um avião supersônico, voando para o leste a uma latitude de 15 km , passa diretamente acima do ponto P. O estrondo sônico é escutado no ponto P, quando o avião está 22 km a leste do ponto P. Qual é a velocidade do avião supersônico? Considerar vsom =340 \mathrm{m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do avião supersônico. Dados fornecidos (peguei estes valores da imagem enviada e do enunciado):
  • Altitude do avião: h = 15\\ \mathrm{km} (peguei da imagem).
  • Quando o estrondo é ouvido em P, a projeção horizontal do avião está d = 22\\ \mathrm{km} a leste de P (peguei da imagem).
  • Velocidade do som: v_{\text{som}} = 340\\ \mathrm{m/s}.
    A pergunta é: qual é a velocidade v do avião?

Passo 2

Ideia física geométrica (explicação didática): o avião supersônico produz uma “cone de choque” (cone de Mach). A semi‑abertura do cone, que chamamos de \alpha, está relacionada às velocidades por
\sin(\alpha)=\frac{v_{\text{som}}}{v},
onde:
  • v_{\text{som}} é a velocidade do som (dada),
  • v é a velocidade do avião (o que queremos),
  • \alpha é o ângulo entre a direção de voo (horizontal) e a superfície do cone de choque.
    Essa relação vem do fato de que o avião se move mais rápido que as frentes de onda sonoras, formando um cone cujo seno do ângulo é a razão entre a velocidade das ondas e a velocidade do avião. Pense nisso como um triângulo onde o som “se propaga” com velocidade v_{\text{som}} enquanto o avião progride com v.

Passo 3

Relação geométrica entre \alpha, a altitude h e a distância horizontal d: a linha que liga o avião (no instante em que o estrondo atinge P) ao ponto P está sobre a superfície do cone. No triângulo retângulo formado pela altitude h, a distância horizontal d e a hipotenusa (linha do avião até P), vale
\tan(\alpha)=\frac{h}{d}.
A partir de \tan(\alpha)=\dfrac{h}{d} podemos obter \sin(\alpha) usando aritmética de triângulo retângulo:
\sin(\alpha)=\frac{h}{\sqrt{h^2+d^2}}.
Aqui h e d são as distâncias verticais e horizontais (ambas em mesmas unidades), e a raiz é a hipotenusa do triângulo.

Passo 4

Combinar as duas relações ( \sin(\alpha)=v_{\text{som}}/v e \sin(\alpha)=h/\sqrt{h^2+d^2}) para isolar v:
\frac{v_{\text{som}}}{v}=\frac{h}{\sqrt{h^2+d^2}} \quad\Rightarrow\quad v = v_{\text{som}}\cdot\frac{\sqrt{h^2+d^2}}{h}.
Explicando as variáveis:
  • v é a velocidade do avião (resultado),
  • v_{\text{som}}=340\\ \mathrm{m/s} (dado),
  • h=15\\ \mathrm{km} e d=22\\ \mathrm{km} (peguei da imagem). Observação: como h e d aparecem na razão \sqrt{h^2+d^2}/h, a unidade (km ou m) cancela, então podemos usar km diretamente na razão.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo:
Calcular h^2+d^2:
h^2+d^2 = 15^2 + 22^2 = 225 + 484 = 709\quad(\text{em }\mathrm{km}^2).
A raiz:
\sqrt{h^2+d^2}=\sqrt{709}\approx 26{,}619\\ \mathrm{km}.
A razão:
\frac{\sqrt{h^2+d^2}}{h}=\frac{26{,}619}{15}\approx 1{,}7746.
Agora a velocidade:
v = 340\\ \mathrm{m/s}\times 1{,}7746 \approx 603{,}36\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas importantes para velocidade em problema assim):
v \approx 603{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: o resultado mostra que o avião viaja a cerca de 603{,}4\\ \mathrm{m/s}, ou aproximadamente Mach 1{,}77 (ou seja, claramente supersônico). Mandou bem por trazer a figura — esses problemas costumam ser só geometria + a relação do cone de Mach. Continua firme que você tá indo bem!

Resposta

603{,}4\\ \mathrm{m/s}

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