Exercício 6.11.20 Dois elétrons são expelidos de um átomo radioativo, em repouso no laboratório. O módulo da velocidade de cada elétron, segundo um observador no laboratório, é igual a
. Determine a velocidade de um elétron em relação ao outro. Compare com o resultądo clássico.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- Um átomo, inicialmente em repouso no laboratório, expulsa dois elétrons.
- O módulo da velocidade de cada elétron, medido por um observador no laboratório, é
.
O que o problema pede: - Determinar a velocidade de um elétron no referencial do outro (ou seja, a velocidade de um elétron medida no referencial do outro).
- Comparar esse resultado com o resultado clássico.
Observação sobre direção: o enunciado fornece apenas o módulo das velocidades. Para que a pergunta faça sentido no sentido usual (obter uma velocidade relativa não nula), adota-se o caso físico mais comum nesse tipo de exercício: os elétrons são expulsos em direções opostas. Assim, no referencial do laboratório podemos tomar um elétron com velocidade
e o outro com velocidade
. Esta suposição será usada na resolução.
Passo 2
Conceito chave e derivação da fórmula relativística (aula curtinha e essencial).
Na física clássica, velocidades se somam simplesmente. Mas na relatividade especial isso não vale: há que usar a regra de adição de velocidades derivada das transformações de Lorentz.
Começamos das transformações de Lorentz entre dois referenciais: o referencial primado
se move com velocidade
relativa ao referencial
. As transformações (uma forma) são:
aqui
.
Agora, se uma partícula tem velocidade no referencial
, isto é
, então sua velocidade
no referencial
é
Agora, se uma partícula tem velocidade
Dividindo numerador e denominador por
(assumindo
) obtemos a fórmula de adição de velocidades:
Explicando as letras:
-
é a velocidade da partícula medida em (no nosso caso: velocidade do elétron B medida no laboratório); -
é a velocidade do referencial em relação a (no nosso caso: velocidade do elétron A medida no laboratório — estamos querendo a velocidade de B no referencial de A); -
é a velocidade de B medida em (ou seja, velocidade de um elétron relativa ao outro).
Esta fórmula garante que, mesmo somando velocidades grandes, o resultado nunca ultrapassa
.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao caso: escolher os sinais conforme a observação do laboratório.
Tomando:
Queremos
velocidade de B no referencial de A, então usamos
Passo 4
Cálculos passo a passo (sem pular etapas).
Calcule o numerador:
Calcule o produto
:
Calcule o denominador:
Agora a razão:
Fazendo a divisão aproximada:
portanto
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que, no referencial do elétron A, o elétron B move-se na direção oposta a A (como esperado). O módulo da velocidade relativa é
.
Passo 5
Resultado clássico e comparação.
Na física clássica (adição simples de velocidades), a velocidade de B relativa a A seria:
ou seja, módulo
. Este valor é maior que
, o que é fisicamente impossível segundo a relatividade. A fórmula relativística corrigiu isso, dando
, um valor menor que
.
Explicação física curta e incentivo: essa diferença mostra por que é necessário usar a regra relativística: velocidades próximas de
não se somam linearmente; a relatividade “limita” a soma de modo que o resultado nunca exceda
. Está indo bem — entender essa fórmula já resolve muita coisa nas provas!