Exercício 6.11.20 Dois elétrons são expelidos de um átomo radioativo, em repouso no laboratório. O módulo da velocidade de cada elétron, segundo um observador no laboratório, é igual a 0,67 c. Determine a velocidade de um elétron em relação ao outro. Compare com o resultądo clássico.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Um átomo, inicialmente em repouso no laboratório, expulsa dois elétrons.
  • O módulo da velocidade de cada elétron, medido por um observador no laboratório, é 0,67c.
    O que o problema pede:
  • Determinar a velocidade de um elétron no referencial do outro (ou seja, a velocidade de um elétron medida no referencial do outro).
  • Comparar esse resultado com o resultado clássico.
Observação sobre direção: o enunciado fornece apenas o módulo das velocidades. Para que a pergunta faça sentido no sentido usual (obter uma velocidade relativa não nula), adota-se o caso físico mais comum nesse tipo de exercício: os elétrons são expulsos em direções opostas. Assim, no referencial do laboratório podemos tomar um elétron com velocidade v=+0,67c e o outro com velocidade u=-0,67c. Esta suposição será usada na resolução.

Passo 2

Conceito chave e derivação da fórmula relativística (aula curtinha e essencial).
Na física clássica, velocidades se somam simplesmente. Mas na relatividade especial isso não vale: há que usar a regra de adição de velocidades derivada das transformações de Lorentz.
Começamos das transformações de Lorentz entre dois referenciais: o referencial primado S' se move com velocidade v relativa ao referencial S. As transformações (uma forma) são:
x'=\gamma(v)\bigl(x-vt\bigr)
t'=\gamma(v)\Bigl(t-\dfrac{v x}{c^{2}}\Bigr)
aqui \gamma(v)=\dfrac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}.
Agora, se uma partícula tem velocidade u no referencial S, isto é u=\dfrac{dx}{dt}, então sua velocidade u' no referencial S' é
u'=\dfrac{dx'}{dt'}=\dfrac{dx-v\,dt}{dt-\dfrac{v\,dx}{c^{2}}}.
Dividindo numerador e denominador por dt (assumindo dt\neq0) obtemos a fórmula de adição de velocidades:
u'=\dfrac{u-v}{1-\dfrac{uv}{c^{2}}}.
Explicando as letras:
  • u é a velocidade da partícula medida em S (no nosso caso: velocidade do elétron B medida no laboratório);
  • v é a velocidade do referencial S' em relação a S (no nosso caso: velocidade do elétron A medida no laboratório — estamos querendo a velocidade de B no referencial de A);
  • u' é a velocidade de B medida em S' (ou seja, velocidade de um elétron relativa ao outro).
Esta fórmula garante que, mesmo somando velocidades grandes, o resultado nunca ultrapassa c.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso: escolher os sinais conforme a observação do laboratório.
Tomando:
v=+0,67c \quad\text{(velocidade do elétron A no laboratório)}éó
u=-0,67c \quad\text{(velocidade do elétron B no laboratório; sinal negativo indica direção oposta)}éóçã
Queremos u'= velocidade de B no referencial de A, então usamos
u'=\dfrac{u-v}{1-\dfrac{uv}{c^{2}}}.

Passo 4

Cálculos passo a passo (sem pular etapas).
Calcule o numerador:
u-v = -0,67c - 0,67c = -1,34c.
Calcule o produto uv/c^{2}:
\dfrac{uv}{c^{2}} = \dfrac{(-0,67c)(0,67c)}{c^{2}} = -0,67\times0,67 = -0,4489.
Calcule o denominador:
1-\dfrac{uv}{c^{2}} = 1-(-0,4489) = 1+0,4489 = 1,4489.
Agora a razão:
u'=\dfrac{-1,34c}{1,4489}.
Fazendo a divisão aproximada:
\dfrac{1,34}{1,4489}\approx 0,925,
portanto
u'\approx -0,925c.
Interpretação do sinal: o sinal negativo indica que, no referencial do elétron A, o elétron B move-se na direção oposta a A (como esperado). O módulo da velocidade relativa é \,0,925c.

Passo 5

Resultado clássico e comparação.
Na física clássica (adição simples de velocidades), a velocidade de B relativa a A seria:
u_{\text{class}} = u - v = -0,67c - 0,67c = -1,34c,
ou seja, módulo 1,34c. Este valor é maior que c, o que é fisicamente impossível segundo a relatividade. A fórmula relativística corrigiu isso, dando 0,925c, um valor menor que c.
Explicação física curta e incentivo: essa diferença mostra por que é necessário usar a regra relativística: velocidades próximas de c não se somam linearmente; a relatividade “limita” a soma de modo que o resultado nunca exceda c. Está indo bem — entender essa fórmula já resolve muita coisa nas provas!

Resposta

-0,925c (velocidade de um elétron em relação ao outro; módulo 0,925c)
1,34c (resultado clássico, claramente impossível pois excede c)

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