( 35 pontos) Óleo motor é aquecido ao escoar através de um tubo circular com diâmetro D=50 mm e comprimento L=25 mm, cuja superfície é mantida em 150^circ C. Se a vazão de escoamento e a temperatura do óleo na entrada do tubo forem de 0,5 kg / s e 20^circ C, calcule:
(dados para o óleo: rho=852 kg / m^3 ; v=37,5 E-5 m^2 / s ; k=138 E-3 W / mK ; Pr=0,490;
cp=2131 J / kgK)
Qual a taxa de transferência de calor total no tubo?

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um tubo de diâmetro D = 50 mm e comprimento L = 25 mm, por onde passa óleo motor (ρ, ν, k, Pr e cₚ dados). A parede do tubo fica a 150 °C e a entrada do óleo está a 20 °C, com vazão mássica ṁ = 0,5 kg/s.
Conteúdo: transferência de calor por convecção interna e balanço de energia no escoamento.
O que vamos precisar:
  • Calcular o número de Reynolds (Re) e Prandtl (Pr) pra ver o regime de fluxo;
  • Usar correlação de Nusselt (Nu) para escoamento laminar termicamente desenvolvendo;
  • Determinar coeficiente de convecção h;
  • Resolver o balanço de energia diferencial para achar a temperatura de saída e, daí, a taxa de calor Q̇.

Passo 2

Calcular velocidade média, área da seção e número de Reynolds:
A = πD²/4 = π·(0,05)²/4 = 1,963·10⁻³ m²
v̄ = ṁ/(ρA) = 0,5 / (852·1,963·10⁻³) ≃ 0,30 m/s
Re = v̄·D/ν = 0,30·0,05 / (37,5·10⁻⁵) ≃ 40
Já que Re ≃ 40 < 2300, o escoamento é laminar.

Passo 3

Pra laminar termicamente em tubo com parede a temperatura constante e escoamento em desenvolvimento térmico, usamos a correlação média:
Nu = 3,66 ;+; 0,065,(Re,Pr,D/L)1 + 0,04,(Re,Pr,D/L)^2/3
Calculemos primeiro o argumento:
Re·Pr·D/L = 40·0,490·0,05/0,025 = 39,0
Então
Nu = 3,66 + 0,065·39,01 + 0,04·(39,0)^2/3 simeq 3,66 + 2,5351 + 0,04·11,5 simeq 3,66 + 2,5351,46 simeq 5,40

Passo 4

Agora o coeficiente de convecção h:
h = Nu,kD = 5,40 · 0,1380,05 simeq 14,9;W/(m²·K) ²

Passo 5

Vamos montar o balanço de energia diferencial no escoamento (temperatura média Tₘ varia ao longo x):
dTₘ/dx = To = Tw - (Tw - Ti), expl[-h,Pdot m,cp,A,Lr] ;(T_w – Tₘ),
onde P = perímetro molhado = πD e A = área da seção.
Integramos de x=0 (Tₘ=Tᵢ=20 °C) até x=L:
h,Pdot m,cp,A = 14,9·0,1571065,5·1,963·10^-3 simeq 1,119;m⁻¹,
Calculando constantes:
P = π·0,05 = 0,157 m
ṁ·cₚ = 0,5·2131 = 1065,5 W/K
A = 1,963·10⁻³ m²
Então
exp[-1,119·0,025] = exp[-0,0280] simeq 0,9724 ¹
e
To = 150 - (150-20),0,9724 = 150 - 130·0,9724 simeq 23,6;^circC
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Passo 6

A taxa total de calor é
dot Q = dot m,cp,(To - Ti) = 0,5·2131·(23,6 - 20) simeq 3,82;kW

Resposta

A taxa total de transferência de calor no tubo é aproximadamente 3,8 kW.

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