2-37 The density of seawater at a free surface where the pressure is 98 kPa is approximately
. Taking the bulk modulus of elasticity of seawater to be
and expressing variation of pressure with depth
as
determine the density and pressure at a depth of 2500 m . Disregard the effect of temperature.
Passo 1
O enunciado pede a densidade e a pressão a uma profundidade de
, sabendo que na superfície livre (profundidade zero) a pressão é
e a densidade é
. Dados fornecidos:
e a variação de pressão com profundidade dada por
. Tome
. O objetivo é calcular
e
, desprezando temperatura.
Passo 2
Vamos entender a relação física que liga pressão e densidade pelo módulo volumétrico (bulk modulus). O módulo
é definido como a resistência do fluido à compressão; em termos diferenciais:
Isto significa que uma pequena variação de pressão
causa uma variação de densidade
tal que
. Vou usar isso junto com a relação hidrostática
.
Passo 3
Igualando as duas expressões para
obtemos:
Rearranjando:
e isolando as variáveis:
Esta é uma equação diferencial separável que vamos integrar do nível da superfície (
) até
.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo é
. Portanto:
Isolando
obtemos a fórmula fechada:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculo a combinação
:
Em seguida calculo
:
Subtraindo:
Tomando a inversa:
Passo 6
Para obter a pressão
é conveniente usar a relação entre
e
decorrente de
. Reescrevendo e integrando:
Assim:
Passo 7
Substituo os valores numéricos. Primeiro o fator
:
O
deste valor é aproximadamente
. Então:
Calculando:
Somando a pressão de superfície
dá:
Em unidades de kPa isto é aproximadamente
(ou em Pa
).