2-37 The density of seawater at a free surface where the pressure is 98 kPa is approximately 1030 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Taking the bulk modulus of elasticity of seawater to be 2.34 \times 10^{9} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} and expressing variation of pressure with depth z as d P= \rho g d z determine the density and pressure at a depth of 2500 m . Disregard the effect of temperature.

Passo 1

O enunciado pede a densidade e a pressão a uma profundidade de 2500\\ \mathrm{m}, sabendo que na superfície livre (profundidade zero) a pressão é 98\\ \mathrm{kPa} e a densidade é 1030\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Dados fornecidos:
\rho_{0}=1030\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad P_{0}=98\\ \mathrm{kPa},\quad z=2500\\ \mathrm{m},
K=2,34\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}\quad\text{(módulo volumétrico de compressibilidade)},óé
e a variação de pressão com profundidade dada por dP=\rho g\,dz. Tome g=9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}. O objetivo é calcular \rho(z=2500\\ \mathrm{m}) e P(z=2500\\ \mathrm{m}), desprezando temperatura.

Passo 2

Vamos entender a relação física que liga pressão e densidade pelo módulo volumétrico (bulk modulus). O módulo K é definido como a resistência do fluido à compressão; em termos diferenciais:
K=\rho\,\frac{dP}{d\rho}.
Isto significa que uma pequena variação de pressão dP causa uma variação de densidade d\rho tal que dP=(K/\rho)\,d\rho. Vou usar isso junto com a relação hidrostática dP=\rho g\,dz.

Passo 3

Igualando as duas expressões para dP obtemos:
\frac{K}{\rho}\,d\rho=\rho g\,dz.
Rearranjando:
K\,d\rho=\rho^{2} g\,dz
e isolando as variáveis:
\frac{d\rho}{\rho^{2}}=\frac{g}{K}\,dz.
Esta é uma equação diferencial separável que vamos integrar do nível da superfície ( z=0,\\ \rho=\rho_{0}) até z=2500\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int_{\rho_{0}}^{\rho(z)}\frac{d\rho}{\rho^{2}}=\frac{g}{K}\int_{0}^{z}dz.
A integral do lado esquerdo é \left[-\dfrac{1}{\rho}\right]_{\rho_{0}}^{\rho}=-\dfrac{1}{\rho}+\dfrac{1}{\rho_{0}}. Portanto:
-\frac{1}{\rho(z)}+\frac{1}{\rho_{0}}=\frac{g}{K}\,z.
Isolando \rho(z) obtemos a fórmula fechada:
\frac{1}{\rho(z)}=\frac{1}{\rho_{0}}-\frac{g}{K}\,z\quad\Rightarrow\quad \rho(z)=\frac{1}{\dfrac{1}{\rho_{0}}-\dfrac{g}{K}\,z}.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calculo a combinação \dfrac{g}{K}\,z:
\frac{g}{K}\,z=\frac{9,81\\ \mathrm{m/s^{2}}\times2500\\ \mathrm{m}}{2,34\times10^{9}\\ \mathrm{N/m^{2}}} = \frac{24525}{2,34\times10^{9}}\approx 1,0483\times10^{-5}.
Em seguida calculo 1/\rho_{0}:
\frac{1}{\rho_{0}}=\frac{1}{1030}\approx 9,7087379\times10^{-4}.
Subtraindo:
\frac{1}{\rho(z)}\approx 9,7087379\times10^{-4}-1,0483\times10^{-5} \approx 9,6039045\times10^{-4}.
Tomando a inversa:
\rho(2500\\ \mathrm{m})\approx \frac{1}{9,6039045\times10^{-4}}\approx 1041,4\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 6

Para obter a pressão P(z) é conveniente usar a relação entre P e \rho decorrente de K=\rho\,dP/d\rho. Reescrevendo e integrando:
dP=\frac{K}{\rho}\,d\rho \quad\Rightarrow\quad P-P_{0}=K\int_{\rho_{0}}^{\rho(z)}\frac{d\rho}{\rho}=K\ln\!\left(\frac{\rho(z)}{\rho_{0}}\right).
Assim:
P(z)=P_{0}+K\ln\!\left(\frac{\rho(z)}{\rho_{0}}\right).

Passo 7

Substituo os valores numéricos. Primeiro o fator \dfrac{\rho(z)}{\rho_{0}}:
\frac{\rho(2500)}{\rho_{0}}=\frac{1041,4}{1030}\approx 1,01102.
O \ln deste valor é aproximadamente 0,01096. Então:
P(2500)=98\\ \mathrm{kPa}+2,34\times10^{9}\cdot0,01096\\ \mathrm{Pa}.
Calculando:
2,34\times10^{9}\times0,01096\approx2,565\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}=25,65\\ \mathrm{MPa}.
Somando a pressão de superfície 98\\ \mathrm{kPa}=0,098\\ \mathrm{MPa} dá:
P(2500)\approx25,75\\ \mathrm{MPa}\approx25{,}8\\ \mathrm{MPa}.
Em unidades de kPa isto é aproximadamente 25{,}750\\ \mathrm{kPa} (ou em Pa \approx2,575\times10^{7}\\ \mathrm{Pa}).

Resposta

\rho(2500\\ \mathrm{m})\approx1041{,}4\\ \mathrm{kg/m^{3}}
P(2500\\ \mathrm{m})\approx25{,}8\\ \mathrm{MPa}

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