36 Analise matematicamente a superposição de uma fonte extensa, ora como
fontes pontuais, ora como fonte contínua.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar como a mesma fonte extensa pode ser encarada primeiro como um conjunto de N fontes pontuais e depois como uma distribuição contínua, usando o princípio da superposição. Vamos usar teoria de superposição de campos e o limite de soma para integral.
Passo 2
Imagine que a fonte extensa ocupa uma região S e que a gente a aproxima por N fontes pontuais, cada uma com amplitude A_i localizada em
. Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto de observação
é a soma das contribuições individuais:
Cada fonte pontual em gera no ponto
um campo
, onde
descreve a lei de decaimento (por exemplo,
ou
). Então:
Cada fonte pontual em
Passo 3
Ao todo, para N fontes pontuais, temos
Agora, se aumentarmos N, distribuindo-as uniformemente na região S e cada amplitude ficar pequena de modo que a soma das amplitudes se mantenha finita, podemos definir uma densidade de fonte
tal que
. No limite
e
, a soma vira integral:
Agora, se aumentarmos N, distribuindo-as uniformemente na região S e cada amplitude
Passo 4
Dessa forma, a fonte contínua é obtida como o limite suave das fontes pontuais. A equação integral é a forma geral de superposição em meios contínuos.