36 Analise matematicamente a superposição de uma fonte extensa, ora como N fontes pontuais, ora como fonte contínua.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar como a mesma fonte extensa pode ser encarada primeiro como um conjunto de N fontes pontuais e depois como uma distribuição contínua, usando o princípio da superposição. Vamos usar teoria de superposição de campos e o limite de soma para integral.

Passo 2

Imagine que a fonte extensa ocupa uma região S e que a gente a aproxima por N fontes pontuais, cada uma com amplitude A_i localizada em ri. Pelo princípio da superposição, o campo total no ponto de observação rP é a soma das contribuições individuais:
Cada fonte pontual em ri gera no ponto rP um campo Ei = Ai,f(|rP-ri|), onde f descreve a lei de decaimento (por exemplo, 1/r ou e^-kappa r/r). Então:

Passo 3

Ao todo, para N fontes pontuais, temos
Agora, se aumentarmos N, distribuindo-as uniformemente na região S e cada amplitude Ai ficar pequena de modo que a soma das amplitudes se mantenha finita, podemos definir uma densidade de fonte rho(r) tal que Aiapprox rho(ri),De. No limite Ntoinfty e De, a soma vira integral:

Passo 4

Dessa forma, a fonte contínua é obtida como o limite suave das fontes pontuais. A equação integral é a forma geral de superposição em meios contínuos.

Resposta

Erm discreto(rP)=sumi=1^N Ai,fl(|rP-ri|r)
Erm contínuo(rP)=integralSrho(r),fl(|rP-r|r),dVí

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