Dado o vetor velocidade: V=(0,5+0,8 x)+(1,5-0,8 y)_{\text {, }} onde x e y em metros.
a) O escoamento é uni, bi ou tridimensional?
b) Determinar a velocidade em x=2 m e y=3 m
c) Determinar o módulo da velocidade em x=2 e y=3 m

Passo 1

O enunciado dá um campo de velocidade e pede três coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido.
Dado:
\mathbf{V} = (0,5 + 0,8\,x)\,\mathbf{i} + (1,5 - 0,8\,y)\,\mathbf{j},
onde x e y estão em metros e a velocidade está em metros por segundo.
Perguntas:
a) O escoamento é uni, bi ou tridimensional?
b) Determinar a velocidade em x=2\\ \text{m} e y=3\\ \text{m}.
c) Determinar o módulo (a velocidade escalar) em x=2\\ \text{m} e y=3\\ \text{m}.

Passo 2

Vamos identificar explicitamente as componentes do vetor velocidade. Chamamos de V_x a componente na direção x (i) e de V_y a componente na direção y (j). Do enunciado temos:
V_x(x,y) = 0,5 + 0,8\,x,
V_y(x,y) = 1,5 - 0,8\,y.
Explicando: \mathbf{i} e \mathbf{j} são os vetores unitários nas direções x e y. Cada componente dá a velocidade nessa direção em função das coordenadas.

Passo 3

Responder a letra (a): o que significa uni/bi/tridimensional aqui?
  • Se apenas uma componente do vetor for não nula em toda a região, chama-se escoamento unidimensional.
  • Se duas componentes podem ser não nulas, é bidimensional.
  • Se há três componentes (componente em z não nula), é tridimensional.
No nosso caso as componentes não nulas são V_x e V_y (ambas dependem de x e y) e não aparece componente em z. Portanto o escoamento é bidimensional.

Passo 4

Agora vamos calcular a velocidade no ponto x=2\\ \text{m}, y=3\\ \text{m}. Substituímos nas fórmulas de V_x e V_y.
Calcule V_x em x=2:
V_x(2,3) = 0,5 + 0,8\cdot 2.
Fazendo a multiplicação passo a passo: 0,8\cdot 2 = 1,6. Então
V_x(2,3) = 0,5 + 1,6 = 2,1\\ \text{m/s}.

Passo 5

Calcule V_y em y=3:
V_y(2,3) = 1,5 - 0,8\cdot 3.
Passo a passo: 0,8\cdot 3 = 2,4. Então
V_y(2,3) = 1,5 - 2,4 = -0,9\\ \text{m/s}.
Portanto o vetor velocidade no ponto é
\mathbf{V}(2,3) = 2,1\,\mathbf{i} - 0,9\,\mathbf{j}\\ \text{(m/s)}.

Passo 6

Agora a letra (c): o módulo (velocidade escalar). A fórmula para o módulo de um vetor em duas dimensões é a distância euclidiana entre as componentes:
\|\mathbf{V}\| = \sqrt{V_x^2 + V_y^2}.
Aqui V_x e V_y são as componentes numéricas que já calculamos em x=2,y=3.

Passo 7

Substituindo os valores:
\|\mathbf{V}(2,3)\| = \sqrt{(2,1)^2 + (-0,9)^2}.
Calcule as potências:
(2,1)^2 = 4,41,\qquad (-0,9)^2 = 0,81.
Somando:
4,41 + 0,81 = 5,22.
Então
\|\mathbf{V}(2,3)\| = \sqrt{5,22}.
Para uma aproximação numérica, observamos que 2,28^2 = 5,1984 e 2,29^2 = 5,2441, portanto
\sqrt{5,22}\approx 2,29\\ \text{m/s}.

Resposta

a) Escoamento bidimensional (2D).
b) \mathbf{V}(2,3)=2,1\,\mathbf{i}-0,9\,\mathbf{j}\\ \text{(m/s)}.
c) \|\mathbf{V}(2,3)\|=\sqrt{5,22}\approx 2,29\\ \text{m/s}.

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