1.37 Calcule a massa específica do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal. Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condição-padrão ( 29,9 polegadas de mercúrio e
) se a incerteza na medida da altura do barômetro é
polegada de mercúrio e a incerteza na medida da temperatura é
. (Note que 29,9 polegadas de mercúrio correspondem a
).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pedem a massa específica do ar padrão calculada a partir da equação de estado do gás ideal, e uma estimativa da incerteza experimental nessa massa específica.
- Dados (retirados do enunciado):
- Pressão:
. - Temperatura:
. - Incerteza na leitura do barômetro:
. - Incerteza na medida da temperatura:
.
- Pressão:
- Observação importante: o enunciado já nos dá a equivalência
. A resolução começa convertendo essas quantidades para unidades SI e usando a lei dos gases ideais para obter (massa específica). Depois fazemos a propagação de incertezas.
Passo 2
Lei dos gases ideais e identificação das variáveis:
onde
-
é a pressão absoluta (unidades SI: ), -
é a massa específica (unidades SI: ), -
é a constante específica do gás (para o ar seco), -
é a temperatura absoluta (unidades SI: ).
Reescrevendo para
:
Explicação didática: a equação diz que, para um gás ideal, a pressão é proporcional à massa por unidade de volume (
) multiplicada pela energia térmica por massa (
). Para encontrar
isolamos essa variável.
Valor que vamos usar para a constante específica do ar (valor padrão, assumido sem incerteza significativa aqui):
Comentário amigo: esse
é a constante universal dividida pela massa molar do ar e é o número que relaciona temperatura e energia por quilo de ar.
Passo 3
Converter pressão e temperatura para SI:
- Pressão: usar
. Como o enunciado deu :
- Temperatura: converter
para kelvin. Primeiro para Celsius: . Em Kelvin:
Observação prática: já era esperado encontrar algo próximo de
porque esse é o valor padrão em 15°C e 1 atm.
Passo 4
Calcular a massa específica numérica usando
.
Calcular o produto
:
Agora
Cancelando unidades e calculando:
Explicação: o passo mostrou aritmeticamente que a massa específica do ar, nas condições dadas, é aproximadamente
.
Passo 5
Propagação da incerteza experimental na densidade.
Modelo:
com
assumido conhecido sem incerteza significativa. As incertezas vêm de
e
. Para pequenas incertezas, a incerteza combinada padrão em
é:
Calcular as derivadas parciais:
Substituindo em
:
Isso pode ser reescrito em termos relativos:
Este resultado é intuitivo:
depende linearmente de
e inversamente de
, então as frações relativas somam em quadratura.
Agora converter as incertezas medidas para SI:
- Incerteza de pressão:
. Usando a relação dada e ,
Calcule:
- Incerteza de temperatura:
. Em kelvin:
Calcular razões relativas:
Combinar em quadratura:
Valor absoluto da incerteza:
Interpretação: a incerteza dominante vem da medida de pressão (barômetro). A contribuição da incerteza de temperatura é bem menor.
Passo 6
Apresentar o resultado final com notação confortável para prova e com arredondamento adequado.
A massa específica do ar padrão nas condições dadas:
Comentário motivador: ficou certinho — valor e incerteza razoáveis e fáceis de explicar na prova. Se você quiser, dá para mostrar esse cálculo em unidades inglesas (slug/ft^3) também, mas para a maioria das provas de física/engenharia o SI é o mais claro.