1.37 Calcule a massa específica do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal. Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condição-padrão ( 29,9 polegadas de mercúrio e 59^{\circ} \mathrm{F} ) se a incerteza na medida da altura do barômetro é \pm 0,1 polegada de mercúrio e a incerteza na medida da temperatura é \pm 0.5^{\circ} \mathrm{F}. (Note que 29,9 polegadas de mercúrio correspondem a 14,7 \mathrm{psia} ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pedem a massa específica do ar padrão calculada a partir da equação de estado do gás ideal, e uma estimativa da incerteza experimental nessa massa específica.
  • Dados (retirados do enunciado):
    • Pressão: \,29,9\\ \text{polegadas de mercúrio} = 14,7\\ \text{psia}ú.
    • Temperatura: 59^\circ\mathrm{F}.
    • Incerteza na leitura do barômetro: \pm 0,1\\ \text{polegada de mercúrio}ú.
    • Incerteza na medida da temperatura: \pm 0,5^\circ\mathrm{F}.
  • Observação importante: o enunciado já nos dá a equivalência \,29,9\\ \text{inHg} \leftrightarrow 14,7\\ \text{psia}. A resolução começa convertendo essas quantidades para unidades SI e usando a lei dos gases ideais para obter \rho (massa específica). Depois fazemos a propagação de incertezas.

Passo 2

Lei dos gases ideais e identificação das variáveis:
p = \rho R T,
onde
  • \,p é a pressão absoluta (unidades SI: \mathrm{Pa}),
  • \,\rho é a massa específica (unidades SI: \mathrm{kg/m^3}),
  • \,R é a constante específica do gás (para o ar seco),
  • \,T é a temperatura absoluta (unidades SI: \mathrm{K}).
Reescrevendo para \rho:
\rho=\frac{p}{R\,T}.
Explicação didática: a equação diz que, para um gás ideal, a pressão é proporcional à massa por unidade de volume ( \rho) multiplicada pela energia térmica por massa ( R\,T). Para encontrar \rho isolamos essa variável.
Valor que vamos usar para a constante específica do ar (valor padrão, assumido sem incerteza significativa aqui):
R = 287,05\\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}}.
Comentário amigo: esse R é a constante universal dividida pela massa molar do ar e é o número que relaciona temperatura e energia por quilo de ar.

Passo 3

Converter pressão e temperatura para SI:
  • Pressão: usar 1\\ \mathrm{psi}=6894,757\\ \mathrm{Pa}. Como o enunciado deu 14,7\\ \mathrm{psia}:
p = 14,7\\ \mathrm{psi}\times 6894,757\\ \mathrm{\frac{Pa}{psi}} = 14{,}7\times 6894{,}757\\ \mathrm{Pa} = 101352{,}9\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: converter 59^\circ\mathrm{F} para kelvin. Primeiro para Celsius: (59-32)\times\frac{5}{9}=15^\circ\mathrm{C}. Em Kelvin:
T = 15 + 273{,}15 = 288{,}15\\ \mathrm{K}.
Observação prática: já era esperado encontrar algo próximo de \rho\approx 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} porque esse é o valor padrão em 15°C e 1 atm.

Passo 4

Calcular a massa específica numérica usando \rho=\dfrac{p}{R\,T}.
Calcular o produto R\,T:
R\,T = 287{,}05\\ \mathrm{\frac{J}{kg\cdot K}}\times 288{,}15\\ \mathrm{K} = 82727{,}70\\ \mathrm{\frac{J}{kg}}.
Agora
\rho=\frac{101352{,}9\\ \mathrm{Pa}}{82727{,}70\\ \mathrm{\frac{J}{kg}}} = \frac{101352{,}9\\ \mathrm{N/m^2}}{82727{,}70\\ \mathrm{N\cdot m/kg}}.
Cancelando unidades e calculando:
\rho = 1{,}2250\\ \mathrm{kg/m^3}.
Explicação: o passo mostrou aritmeticamente que a massa específica do ar, nas condições dadas, é aproximadamente \,1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 5

Propagação da incerteza experimental na densidade.
Modelo: \rho=\dfrac{p}{R\,T} com R assumido conhecido sem incerteza significativa. As incertezas vêm de p e T. Para pequenas incertezas, a incerteza combinada padrão em \rho é:
\Delta\rho \approx \sqrt{\left(\frac{\partial \rho}{\partial p}\Delta p\right)^2 + \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\Delta T\right)^2 }.
Calcular as derivadas parciais:
\frac{\partial \rho}{\partial p} = \frac{1}{R\,T},\qquad \frac{\partial \rho}{\partial T} = -\frac{p}{R\,T^2} = -\frac{\rho}{T}.
Substituindo em \Delta\rho:
\Delta\rho \approx \sqrt{\left(\frac{\Delta p}{R\,T}\right)^2 + \left(\frac{\rho}{T}\Delta T\right)^2 }.
Isso pode ser reescrito em termos relativos:
\left(\frac{\Delta\rho}{\rho}\right)^2 = \left(\frac{\Delta p}{p}\right)^2 + \left(\frac{\Delta T}{T}\right)^2.
Este resultado é intuitivo: \rho depende linearmente de p e inversamente de T, então as frações relativas somam em quadratura.
Agora converter as incertezas medidas para SI:
  • Incerteza de pressão: \Delta(\text{inHg})=0,1\\ \text{inHg}. Usando a relação dada 29{,}9\\ \text{inHg}\leftrightarrow 14{,}7\\ \text{psi} e 1\\ \text{psi}=6894{,}757\\ \mathrm{Pa},
\Delta p = 0{,}1\\ \text{inHg}\times\frac{14{,}7\\ \mathrm{psi}}{29{,}9\\ \text{inHg}}\times 6894{,}757\\ \mathrm{\frac{Pa}{psi}}.
Calcule:
\Delta p = \frac{14{,}7}{29{,}9}\times 0{,}1\times 6894{,}757\\ \mathrm{Pa} \approx 339{,}16\\ \mathrm{Pa}.
  • Incerteza de temperatura: \Delta T_{^\circ\mathrm{F}}=0{,}5^\circ\mathrm{F}. Em kelvin:
\Delta T = 0{,}5\times\frac{5}{9}=0{,}27778\\ \mathrm{K}.
Calcular razões relativas:
\frac{\Delta p}{p} = \frac{339{,}16}{101352{,}9} \approx 0{,}003347 \quad(\approx 0{,}3347\%),
\frac{\Delta T}{T} = \frac{0{,}27778}{288{,}15} \approx 0{,}000964 \quad(\approx 0{,}0964\%).
Combinar em quadratura:
\frac{\Delta\rho}{\rho} = \sqrt{(0{,}003347)^2 + (0{,}000964)^2} \approx 0{,}003484 \quad(\approx 0{,}3484\%).
Valor absoluto da incerteza:
\Delta\rho = \rho\times 0{,}003484 = 1{,}2250\times 0{,}003484 \approx 0{,}00427\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação: a incerteza dominante vem da medida de pressão (barômetro). A contribuição da incerteza de temperatura é bem menor.

Passo 6

Apresentar o resultado final com notação confortável para prova e com arredondamento adequado.
A massa específica do ar padrão nas condições dadas:
\rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{com incerteza}\quad \Delta\rho \approx 0{,}004\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário motivador: ficou certinho — valor e incerteza razoáveis e fáceis de explicar na prova. Se você quiser, dá para mostrar esse cálculo em unidades inglesas (slug/ft^3) também, mas para a maioria das provas de física/engenharia o SI é o mais claro.

Resposta

\rho = 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3}\pm 0{,}004\\ \mathrm{kg/m^3}

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