1.46 Uma revista especializada publica dados dos seus testes de estrada sobre a capacidade de aceleração lateral de carros. As medições são feitas utilizando-se uma pista de 150 pés de diâmetro. Suponha que a trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 2 \mathrm{ft} e que a velocidade do veículo é medida por um dispositivo medidor de quinta roda com incerteza de \pm 0.5 \mathrm{mph}. Estime a incerteza experimental numa aceleração lateral anotada de 0,7 \mathrm{~g}. Como você poderia melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (resume e garante que eu não invente nada):
  • Pista com diâmetro 150 ft, portanto o raio nominal é r=75 ft.
  • A trajetória do veículo pode desviar-se do círculo por \pm 2 ft. Logo a incerteza no raio é \delta r = 2 ft (assumimos que esse é o erro máximo na medição do raio efetivo).
  • A velocidade é medida por um medidor de quinta roda com incerteza \pm 0{,}5 mph. Logo a incerteza na velocidade é \delta v = 0{,}5 mph.
  • Uma aceleração lateral anotada é 0{,}7\,g. O enunciado pede:
    1. Estimar a incerteza experimental nessa aceleração lateral;
    2. Sugerir como melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza.

Passo 2

Escolha do método de cálculo da incerteza (explicação didática e por que usar este método).
  • A relação física entre velocidade, raio e aceleração centrípeta é
a=\frac{v^{2}}{r}.
  • Quando temos incertezas em v e r, uma forma padrão e simples (e suficientemente precisa para pequenas incertezas) de estimar a incerteza em a é usar a aproximação linear (propagação de erros por derivadas parciais). A fórmula geral (explicada abaixo) é:
\delta a \approx \sqrt{\left(\frac{\partial a}{\partial v}\,\delta v\right)^{2} + \left(\frac{\partial a}{\partial r}\,\delta r\right)^{2}}.
  • Por que isso faz sentido (explicação amigável): imagine que pequenas variações em v e r mudam a. As derivadas parciais mostram quanto a muda quando v ou r mudam um pouco; combinamos as contribuições independentes em quadratura porque normalmente as incertezas são estatisticamente independentes (essa é a regra usual em laboratório).
  • Vamos aplicar essa fórmula. Primeiro precisamos de valores numéricos consistentes de v, r, a e converter \delta v para unidades compatíveis.

Passo 3

Converter unidades e calcular a velocidade correspondente à aceleração anotada.
  • Converter 0{,}7\,g para unidades de \mathrm{ft/s^{2}}. Usamos 1\,g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}} (valor usual):
a = 0{,}7\cdot 32{,}174 \\ \mathrm{ft/s^{2}} = 22{,}5218\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Usando a=\dfrac{v^{2}}{r} e r=75 ft, obtemos a velocidade v (em \mathrm{ft/s}):
v = \sqrt{a\,r} = \sqrt{22{,}5218 \times 75} = \sqrt{1689{,}135} \approx 41{,}106\\ \mathrm{ft/s}.
  • Converter v para \mathrm{mph} para comparação com a incerteza dada: 1\\ \mathrm{mph}=1{,}466667\\ \mathrm{ft/s}. Então
v \approx \frac{41{,}106}{1{,}466667} \approx 28{,}02\\ \mathrm{mph}.
  • Converter a incerteza de velocidade \delta v=0{,}5\\ \mathrm{mph} para \mathrm{ft/s}:
\delta v = 0{,}5\times 1{,}466667 = 0{,}733333\\ \mathrm{ft/s}.
  • Resumo numérico que vamos usar:
    • r=75\\ \mathrm{ft}, \delta r=2\\ \mathrm{ft}.
    • v\approx 41{,}106\\ \mathrm{ft/s}, \delta v\approx 0{,}733333\\ \mathrm{ft/s}.
    • a\approx 22{,}5218\\ \mathrm{ft/s^{2}} (que é 0{,}7\,g).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais necessárias e as contribuições das incertezas.
  • Derivadas parciais de a=\dfrac{v^{2}}{r}:
\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{2v}{r},\qquad \frac{\partial a}{\partial r}=-\frac{v^{2}}{r^{2}}=-\frac{a}{r}.
  • Avaliando em v e r encontrados:
\frac{\partial a}{\partial v}=\frac{2\times 41{,}106}{75}=1{,}09616\\ \mathrm{s^{-1}},
\frac{\partial a}{\partial r}=-\frac{22{,}5218}{75}=-0{,}30029\\ \mathrm{(ft/s^{2})/ft}.
  • Agora as variações (contribuições absolutas) producidas por \delta v e \delta r:
\left(\frac{\partial a}{\partial v}\right)\delta v = 1{,}09616\times 0{,}733333 \approx 0{,}8037\\ \mathrm{ft/s^{2}},
\left|\frac{\partial a}{\partial r}\right|\delta r = 0{,}30029\times 2 \approx 0{,}6006\\ \mathrm{ft/s^{2}}.

Passo 5

Combinar as contribuições (regra da soma em quadratura) e expressar o resultado em g e em porcentagem.
  • Combinação:
\delta a \approx \sqrt{0{,}8037^{2} + 0{,}6006^{2}} = \sqrt{0{,}6460 + 0{,}3607} = \sqrt{1{,}0067} \approx 1{,}0033\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
  • Converter para unidades de g:
\delta a \approx \frac{1{,}0033}{32{,}174} \approx 0{,}03118\\ g \approx 0{,}031\\ g.
  • Porcentagem relativa em relação a 0{,}7\,g:
\frac{0{,}03118}{0{,}7}\times 100\% \approx 4{,}45\%.
  • Interpretação clara: a aceleração anotada 0{,}7\,g tem incerteza estimada aproximadamente \pm 0{,}031\,g (ou \pm 1{,}00\\ \mathrm{ft/s^{2}}), i.e., cerca de \pm 4{,}5\%.

Passo 6

Análise das fontes e sugestões concretas para reduzir a incerteza (com justificativa física e prática).
  • Qual termo domina? A contribuição da velocidade ( \approx 0{,}8037\\ \mathrm{ft/s^{2}}) é maior que a da incerteza do raio ( \approx 0{,}6006\\ \mathrm{ft/s^{2}}). Em termos relativos, a incerteza em v dá contribuição fracionária de 2\delta v/v \approx 3{,}57\% e a de r contribui com \delta r/r \approx 2{,}67\%. Juntando em quadratura obtemos \sim 4{,}45\%.
  • Sugestões práticas para reduzir a incerteza (cada sugestão com porquê funciona):
    1. Melhorar a medição da velocidade:
      • Usar um radar/laser ou um sensor diferencial de roda calibrado melhor que \pm 0{,}5 mph — por exemplo um aparelho com \pm 0{,}1 mph reduziria muito a contribuição de \delta v (a contribuição da velocidade cairia em ~5×).
      • Usar múltiplas leituras e média de várias passagens para reduzir erro aleatório.
    2. Medir diretamente a trajetória real (reduzir \delta r):
      • Instalar marcadores, cones ou usar vídeo de alta velocidade / GPS de alta precisão para determinar o raio real da trajetória ao invés de assumir o círculo nominal. Se \delta r cair de 2 ft para, digamos, 0{,}5 ft, a contribuição do termo associado ao raio cairia 4×.
    3. Medir aceleração com acelerômetro (IMU) calibrado:
      • Um acelerômetro de boa qualidade montado no veículo pode medir diretamente a aceleração lateral com precisão competitiva, evitando parte da propagação de erros de v e r. Isso costuma dar medidas mais diretas e com menor incerteza se bem calibrado.
    4. Aumentar o raio de prova (se possível):
      • Como a\propto 1/r, para mesma velocidade a sensibilidade a \delta r diminui se o raio for maior (fractional \delta r/r diminui). Contudo, ajustar raio muda a velocidade necessária para obter 0{,}7\,g, então avaliar trade-offs.
    5. Redução de variabilidade operacional:
      • Treinar pilotos para seguir a linha desejada e usar guia de pista para diminuir desvios; reduzir dispersão entre passagens diminui a incerteza experimental estatística.
  • Comentário prático final: dado que aqui a incerteza da velocidade foi a maior contribuição, priorizar melhor medição de v (ou medir a diretamente com acelerômetros) dá o maior ganho imediato na precisão.

Resposta

\delta a \approx 1{,}00\\ \mathrm{ft/s^{2}} \approx 0{,}031\\ g (aproximadamente 4{,}5\% de incerteza relativa na leitura de 0{,}7\,g).
Melhorias: usar medidor de velocidade mais preciso (radar/laser ou calibrar a quinta roda, reduzir \delta v), medir diretamente a trajetória real (vídeo/GPS) para reduzir \delta r, ou usar um acelerômetro (IMU) calibrado para medir a diretamente.

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