1.46 Uma revista especializada publica dados dos seus testes de estrada sobre a capacidade de aceleração lateral de carros. As medições são feitas utilizando-se uma pista de 150 pés de diâmetro. Suponha que a trajetória do veículo desvia-se do círculo por \pm 2 \mathrm{ft} e que a velocidade do veículo é medida por um dispositivo medidor de quinta roda com incerteza de \pm 0.5 \mathrm{mph}. Estime a incerteza experimental numa aceleração lateral anotada de 0,7 \mathrm{~g}. Como você poderia melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza?
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (resume e garante que eu não invente nada):
Pista com diâmetro 150 ft, portanto o raio nominal é r=75 ft.
A trajetória do veículo pode desviar-se do círculo por \pm 2 ft. Logo a incerteza no raio é \delta r = 2 ft (assumimos que esse é o erro máximo na medição do raio efetivo).
A velocidade é medida por um medidor de quinta roda com incerteza \pm 0{,}5 mph. Logo a incerteza na velocidade é \delta v = 0{,}5 mph.
Uma aceleração lateral anotada é 0{,}7\,g. O enunciado pede:
Estimar a incerteza experimental nessa aceleração lateral;
Sugerir como melhorar o procedimento experimental para reduzir a incerteza.
Passo 2
Escolha do método de cálculo da incerteza (explicação didática e por que usar este método).
A relação física entre velocidade, raio e aceleração centrípeta é
a=\frac{v^{2}}{r}.
Quando temos incertezas em v e r, uma forma padrão e simples (e suficientemente precisa para pequenas incertezas) de estimar a incerteza em a é usar a aproximação linear (propagação de erros por derivadas parciais). A fórmula geral (explicada abaixo) é:
Por que isso faz sentido (explicação amigável): imagine que pequenas variações em v e r mudam a. As derivadas parciais mostram quanto a muda quando v ou r mudam um pouco; combinamos as contribuições independentes em quadratura porque normalmente as incertezas são estatisticamente independentes (essa é a regra usual em laboratório).
Vamos aplicar essa fórmula. Primeiro precisamos de valores numéricos consistentes de v, r, a e converter \delta v para unidades compatíveis.
Passo 3
Converter unidades e calcular a velocidade correspondente à aceleração anotada.
Converter 0{,}7\,g para unidades de \mathrm{ft/s^{2}}. Usamos 1\,g=32{,}174\\ \mathrm{ft/s^{2}} (valor usual):
a = 0{,}7\cdot 32{,}174 \\ \mathrm{ft/s^{2}} = 22{,}5218\\ \mathrm{ft/s^{2}}.
Usando a=\dfrac{v^{2}}{r} e r=75 ft, obtemos a velocidade v (em \mathrm{ft/s}):
Interpretação clara: a aceleração anotada 0{,}7\,g tem incerteza estimada aproximadamente \pm 0{,}031\,g (ou \pm 1{,}00\\ \mathrm{ft/s^{2}}), i.e., cerca de \pm 4{,}5\%.
Passo 6
Análise das fontes e sugestões concretas para reduzir a incerteza (com justificativa física e prática).
Qual termo domina? A contribuição da velocidade (\approx 0{,}8037\\ \mathrm{ft/s^{2}}) é maior que a da incerteza do raio (\approx 0{,}6006\\ \mathrm{ft/s^{2}}). Em termos relativos, a incerteza em v dá contribuição fracionária de 2\delta v/v \approx 3{,}57\% e a de r contribui com \delta r/r \approx 2{,}67\%. Juntando em quadratura obtemos \sim 4{,}45\%.
Sugestões práticas para reduzir a incerteza (cada sugestão com porquê funciona):
Melhorar a medição da velocidade:
Usar um radar/laser ou um sensor diferencial de roda calibrado melhor que \pm 0{,}5 mph — por exemplo um aparelho com \pm 0{,}1 mph reduziria muito a contribuição de \delta v (a contribuição da velocidade cairia em ~5×).
Usar múltiplas leituras e média de várias passagens para reduzir erro aleatório.
Medir diretamente a trajetória real (reduzir \delta r):
Instalar marcadores, cones ou usar vídeo de alta velocidade / GPS de alta precisão para determinar o raio real da trajetória ao invés de assumir o círculo nominal. Se \delta r cair de 2 ft para, digamos, 0{,}5 ft, a contribuição do termo associado ao raio cairia 4×.
Medir aceleração com acelerômetro (IMU) calibrado:
Um acelerômetro de boa qualidade montado no veículo pode medir diretamente a aceleração lateral com precisão competitiva, evitando parte da propagação de erros de v e r. Isso costuma dar medidas mais diretas e com menor incerteza se bem calibrado.
Aumentar o raio de prova (se possível):
Como a\propto 1/r, para mesma velocidade a sensibilidade a \delta r diminui se o raio for maior (fractional \delta r/r diminui). Contudo, ajustar raio muda a velocidade necessária para obter 0{,}7\,g, então avaliar trade-offs.
Redução de variabilidade operacional:
Treinar pilotos para seguir a linha desejada e usar guia de pista para diminuir desvios; reduzir dispersão entre passagens diminui a incerteza experimental estatística.
Comentário prático final: dado que aqui a incerteza da velocidade foi a maior contribuição, priorizar melhor medição de v (ou medir a diretamente com acelerômetros) dá o maior ganho imediato na precisão.
Resposta
\delta a \approx 1{,}00\\ \mathrm{ft/s^{2}} \approx 0{,}031\\ g (aproximadamente 4{,}5\% de incerteza relativa na leitura de 0{,}7\,g).
Melhorias: usar medidor de velocidade mais preciso (radar/laser ou calibrar a quinta roda, reduzir \delta v), medir diretamente a trajetória real (vídeo/GPS) para reduzir \delta r, ou usar um acelerômetro (IMU) calibrado para medir a diretamente.