Com base nos resultados experimentais de pressão e vazão obtidos para uma placa de orifício, elabore a curva de calibração que permita utilizar esse dispositivo na aferição da vazão de água em uma tubulação:
Ponto
Diferença de Pressão
em Pa)
Vazão Real
em m3/h
1
5.000
2,12
2
12.000
3,28
3
25.000
4,75
4
45.000
6,37
5
70.000
7,95
| Ponto | Diferença de Pressão
|
Vazão Real
|
| 1 | 5.000 | 2,12 |
| 2 | 12.000 | 3,28 |
| 3 | 25.000 | 4,75 |
| 4 | 45.000 | 6,37 |
| 5 | 70.000 | 7,95 |
Passo 1
O enunciado fornece cinco pares de medidas experimentais para uma placa de orifício:
- Ponto 1: diferença de pressão
Pa e vazão real m^3/h - Ponto 2: diferença de pressão
Pa e vazão real m^3/h - Ponto 3: diferença de pressão
Pa e vazão real m^3/h - Ponto 4: diferença de pressão
Pa e vazão real m^3/h - Ponto 5: diferença de pressão
Pa e vazão real m^3/h
O que o enunciado pede: elaborar a curva de calibração que permita usar o dispositivo para aferir vazão de água a partir da medida de
. Em outras palavras, encontrar uma relação prática do tipo
que, dada uma leitura de
, entregue a vazão estimada
.
Passo 2
Escolha do modelo e justificativa (explicação didática)
- Teoria curta e prática: para escoamento incompressível através de orifício, a vazão volumétrica costuma seguir aproximadamente uma relação da forma
Isto vem da conservação de energia (Bernoulli) e da conversão entre queda de pressão e velocidade do fluido; como
é proporcional à velocidade vezes uma área constante, obtém-se
.
- Estratégia prática para calibração: linearizar a relação definindo a nova variável
e então ajustar uma reta
onde
é a inclinação (ganho) e
o intercepto (correção). Esse procedimento facilita o ajuste por mínimos quadrados e dá uma forma direta de usar a curva (calcular
e aplicar a reta).
- Vamos ajustar por regressão linear (mínimos quadrados ordinários). Explico a fórmula quando aplicarmos.
Passo 3
Calcular a transformação
para cada ponto (valores arredondados a 4 casas decimais):
- Ponto 1:
- Ponto 2:
- Ponto 3:
- Ponto 4:
- Ponto 5:
Aqui
tem unidade
. A ideia prática: a partir de uma leitura
calcula-se
e aplica-se a reta para obter
.
Passo 4
Fórmulas da regressão linear (mínimos quadrados) — aula rápida e concreta
- Para ajustar
com pontos , as fórmulas fechadas são
- Significado das somas:
-
é a soma dos , -
é a soma das vazões medidas, -
é a soma dos quadrados de (note que aqui ), -
é a soma dos produtos .
-
- Por que funciona: esses fórmulas minimizam a soma dos resíduos quadrados
, dando a melhor reta no sentido dos mínimos quadrados.
Passo 5
Calcular as somas necessárias (valores numéricos)
- Número de pontos:
. - Somas das quantidades (valores mostrados com 4 casas quando convenientes):
(Observação:
porque
.)
Passo 6
Calcular a inclinação
e o intercepto
passo a passo
- Primeiro o numerador e o denominador para
:
- Agora
:
Passo 7
Expressão final da curva de calibração e como usar (dicas práticas)
- A curva de calibração (equação da reta ajustada) é:
- Interpretação simples: para usar na prática
- medir
em Pa, - calcular
, - aplicar a fórmula acima para obter
em .
- medir
- Observações úteis:
- O intercepto é pequeno (
m^3/h), o que indica bom ajuste ao modelo proporcional a . - Qualidade do ajuste: o coeficiente de determinação fica muito próximo de 1 (fit praticamente perfeito dentro dos dados experimentais fornecidos), o que significa que a reta explica praticamente toda a variação observada dos dados (resíduos muito pequenos).
- Se desejar uma forma sem intercepto por simplicidade prática, pode-se usar
com , mas a forma com intercepto dá uma pequena correção que melhora a acurácia nas baixas vazões.
- O intercepto é pequeno (
- Exemplo rápido de uso: para
Pa, (Isto exemplifica como aplicar a curva.)