Com base nos resultados experimentais de pressão e vazão obtidos para uma placa de orifício, elabore a curva de calibração que permita utilizar esse dispositivo na aferição da vazão de água em uma tubulação:
Ponto Diferença de Pressão (\Delta \mathrm{P} em Pa) Vazão Real (\mathrm{Q} em m3/h )
1 5.000 2,12
2 12.000 3,28
3 25.000 4,75
4 45.000 6,37
5 70.000 7,95

Passo 1

O enunciado fornece cinco pares de medidas experimentais para uma placa de orifício:
  • Ponto 1: diferença de pressão \Delta P = 5{,}000 Pa e vazão real Q = 2{,}12 m^3/h
  • Ponto 2: diferença de pressão \Delta P = 12{,}000 Pa e vazão real Q = 3{,}28 m^3/h
  • Ponto 3: diferença de pressão \Delta P = 25{,}000 Pa e vazão real Q = 4{,}75 m^3/h
  • Ponto 4: diferença de pressão \Delta P = 45{,}000 Pa e vazão real Q = 6{,}37 m^3/h
  • Ponto 5: diferença de pressão \Delta P = 70{,}000 Pa e vazão real Q = 7{,}95 m^3/h
O que o enunciado pede: elaborar a curva de calibração que permita usar o dispositivo para aferir vazão de água a partir da medida de \Delta P. Em outras palavras, encontrar uma relação prática do tipo Q=f(\Delta P) que, dada uma leitura de \Delta P, entregue a vazão estimada Q.

Passo 2

Escolha do modelo e justificativa (explicação didática)
  • Teoria curta e prática: para escoamento incompressível através de orifício, a vazão volumétrica costuma seguir aproximadamente uma relação da forma
Q \propto \sqrt{\Delta P}.
Isto vem da conservação de energia (Bernoulli) e da conversão entre queda de pressão e velocidade do fluido; como Q é proporcional à velocidade vezes uma área constante, obtém-se Q \sim \sqrt{\Delta P}.
  • Estratégia prática para calibração: linearizar a relação definindo a nova variável
S = \sqrt{\Delta P},
e então ajustar uma reta
Q = m\,S + b,
onde m é a inclinação (ganho) e b o intercepto (correção). Esse procedimento facilita o ajuste por mínimos quadrados e dá uma forma direta de usar a curva (calcular S e aplicar a reta).
  • Vamos ajustar por regressão linear (mínimos quadrados ordinários). Explico a fórmula quando aplicarmos.

Passo 3

Calcular a transformação \;S=\sqrt{\Delta P}\; para cada ponto (valores arredondados a 4 casas decimais):
  • Ponto 1: \;S_1=\sqrt{5{,}000}=70{,}7107
  • Ponto 2: \;S_2=\sqrt{12{,}000}=109{,}5445
  • Ponto 3: \;S_3=\sqrt{25{,}000}=158{,}1139
  • Ponto 4: \;S_4=\sqrt{45{,}000}=212{,}1320
  • Ponto 5: \;S_5=\sqrt{70{,}000}=264{,}5751
Aqui S tem unidade \mathrm{Pa}^{1/2}. A ideia prática: a partir de uma leitura \Delta P calcula-se S e aplica-se a reta para obter Q.

Passo 4

Fórmulas da regressão linear (mínimos quadrados) — aula rápida e concreta
  • Para ajustar Q = m S + b com n pontos (S_i,Q_i), as fórmulas fechadas são
m=\frac{n\sum_{i=1}^{n} S_i Q_i - \left(\sum_{i=1}^{n} S_i\right)\left(\sum_{i=1}^{n} Q_i\right)} {n\sum_{i=1}^{n} S_i^{2} - \left(\sum_{i=1}^{n} S_i\right)^{2}},
b=\frac{\sum_{i=1}^{n} Q_i - m\sum_{i=1}^{n} S_i}{n}.
  • Significado das somas:
    • \sum S_i é a soma dos \sqrt{\Delta P},
    • \sum Q_i é a soma das vazões medidas,
    • \sum S_i^2 é a soma dos quadrados de S_i (note que aqui \sum S_i^2=\sum \Delta P_i),
    • \sum S_i Q_i é a soma dos produtos S_i\cdot Q_i.
  • Por que funciona: esses fórmulas minimizam a soma dos resíduos quadrados \sum (Q_i - mS_i - b)^2, dando a melhor reta no sentido dos mínimos quadrados.

Passo 5

Calcular as somas necessárias (valores numéricos)
  • Número de pontos: n=5.
  • Somas das quantidades (valores mostrados com 4 casas quando convenientes):
\sum_{i=1}^{5} S_i = 815{,}0762,
\sum_{i=1}^{5} Q_i = 24{,}47,
\sum_{i=1}^{5} S_i^{2} = \sum_{i=1}^{5} \Delta P_i = 157{,}000,
\sum_{i=1}^{5} S_i Q_i \approx 4{,}715{,}0050.
(Observação: \sum S_i^{2}=\sum \Delta P_i porque S_i=\sqrt{\Delta P_i}.)

Passo 6

Calcular a inclinação m e o intercepto b passo a passo
  • Primeiro o numerador e o denominador para m:
\text{num} = n\sum S_i Q_i - \left(\sum S_i\right)\left(\sum Q_i\right) =5\cdot 4{,}715{,}0050 - 815{,}0762\cdot 24{,}47 \approx 23{,}575{,}025 - 19{,}944{,}914 \approx 3{,}630{,}111.
\text{den} = n\sum S_i^{2} - \left(\sum S_i\right)^{2} =5\cdot 157{,}000 - (815{,}0762)^{2} \approx 785{,}000 - 664{,}349{,}21 \approx 120{,}650{,}79.
m=\frac{\text{num}}{\text{den}}\approx\frac{3{,}630{,}111}{120{,}650{,}79}\approx 0{,}030096.
  • Agora b:
b=\frac{\sum Q_i - m\sum S_i}{n} \approx\frac{24{,}47 - 0{,}030096\cdot 815{,}0762}{5} \approx\frac{24{,}47 - 24{,}5305}{5}\approx\frac{-0{,}0605}{5}\approx -0{,}01210.

Passo 7

Expressão final da curva de calibração e como usar (dicas práticas)
  • A curva de calibração (equação da reta ajustada) é:
Q\\ (\text{m}^3/\text{h}) = 0{,}030096\; \sqrt{\Delta P\\ (\text{Pa})} \;-\; 0{,}01210.
  • Interpretação simples: para usar na prática
    1. medir \Delta P em Pa,
    2. calcular S=\sqrt{\Delta P},
    3. aplicar a fórmula acima para obter Q em \mathrm{m}^3/\mathrm{h}.
  • Observações úteis:
    • O intercepto é pequeno ( -0{,}0121 m^3/h), o que indica bom ajuste ao modelo proporcional a \sqrt{\Delta P}.
    • Qualidade do ajuste: o coeficiente de determinação fica muito próximo de 1 (fit praticamente perfeito dentro dos dados experimentais fornecidos), o que significa que a reta explica praticamente toda a variação observada dos dados (resíduos muito pequenos).
    • Se desejar uma forma sem intercepto por simplicidade prática, pode-se usar Q \approx K\sqrt{\Delta P} com K\approx 0{,}0301, mas a forma com intercepto dá uma pequena correção que melhora a acurácia nas baixas vazões.
  • Exemplo rápido de uso: para \Delta P=30{,}000 Pa, S=\sqrt{30{,}000}=173{,}2051,\quad Q=0{,}030096\cdot 173{,}2051 - 0{,}01210 \approx 5{,}205\\ \text{m}^3/\text{h}.(Isto exemplifica como aplicar a curva.)

Resposta

Q\\ (\text{m}^3/\text{h}) = 0{,}030096\; \sqrt{\Delta P\\ (\text{Pa})} \;-\; 0{,}01210

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