1.37 Calcule a massa específica do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal. Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condição-padrão ( 29,9 polegadas de mercúrio e
) se a incerteza na medida da altura do barômetro
polegada de mercúrio e a incerteza na medida da temperatura é
. (Note que 29,9 polegadas de mercúrio correspondem a
.)
1.38 Repita o cálculo da incerteza do Problema 1.37 para o ar em um congelador. Considere que a altura medida no barômetro é (
) mmHg e a temperatura é (
. [Observe que 759 mmHg correspondem a 101 kPa (abs).]
1.38 Repita o cálculo da incerteza do Problema 1.37 para o ar em um congelador. Considere que a altura medida no barômetro é (
Passo 1
Vou deixar claro o que cada problema pede e listar os dados fornecidos.
Problema 1.37 — pedido:
- Calcular a massa específica (densidade) do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal.
- Estimar a incerteza experimental da massa específica para as condições-padrão dadas, usando as incertezas nas medidas de pressão e temperatura.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Pressão:
polegadas de mercúrio (correspondem a ). Incerteza na leitura do barômetro: polegada de mercúrio. - Temperatura:
. Incerteza na leitura da temperatura: .
Problema 1.38 — pedido:
- Repetir o cálculo da incerteza do Problema 1.37 para o ar em um congelador, com nova pressão e temperatura.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Pressão:
mmHg (o enunciado observa que correspondem a absoluto). - Temperatura:
.
Observação importante para ambos os problemas:
- Vou usar a equação de estado do gás ideal em forma útil para densidade:
. A incerteza será obtida por propagação de erros (derivadas parciais), assumindo erros independentes em e .
Passo 2
Relembrando e definindo as fórmulas que vou usar (aulas rápidas e concretas):
Equação de estado do gás ideal (forma para densidade):
onde
-
é a massa específica (densidade) em , -
é a pressão absoluta em , -
é a temperatura absoluta em , -
é a constante específica do gás (para o ar).
Constante específica do ar:
onde
-
é a constante universal dos gases: , -
é a massa molar do ar, (massa molar média do ar seco).
Calculando
(mostrar contas para usar depois):
Explicação rápida:
diz quanto de energia por unidade de massa por grau de temperatura relaciona pressão, volume e temperatura; é a constante que aparece ao usar o gás ideal por quilograma em vez de por mol.
Propagação de incerteza (método):
Para com
constante, as derivadas parciais são
Para
Assumindo
e
independentes, a variância (quadrado da incerteza combinada) é
Isso significa: calcule os dois efeitos (erro em pressão e erro em temperatura) como contribuições quadráticas e some.
Passo 3
Resolver o Problema 1.37 — converter valores para unidades SI e calcular a massa específica nominal.
Conversões e valores nominais (peguei as correspondências do enunciado e converti para SI):
- O enunciado disse que
inHg corresponde a . Vou converter para pascal usando :
- Temperatura:
. Conversão para Kelvin:
Agora aplicar a fórmula
com
:
Faço as contas:
Comentário: este valor coincide com o valor padrão conhecido de aproximadamente
ao nível do mar e
.
Passo 4
Estimativa da incerteza para o Problema 1.37 (propagação numérica).
Converter as incertezas para unidades SI (peguei os valores de incerteza do enunciado e converti):
- Incerteza na pressão:
inHg. Conversão: inHg (ou usei a proporção via psi). Assim
- Incerteza na temperatura:
. Conversão para K:
Aplicar a fórmula da propagação:
Calcular cada termo numericamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando em quadratura:
Interpretação curta: o erro dominante aqui vem da incerteza de pressão (medida do barômetro); a incerteza de temperatura tem contribuição menor.
Passo 5
Resolver o Problema 1.38 — calcular a massa específica nominal para as condições do congelador (converter para SI e aplicar a fórmula).
Dados nominais (peguei do enunciado e converti):
- Pressão:
corresponde a (absoluto), ou seja
- Temperatura:
. Converter para Kelvin:
Calcular a massa específica nominal:
Faço as contas:
Comentário: ar mais frio tem densidade maior, por isso
aumentou em relação ao caso do problema anterior.
Passo 6
Estimativa da incerteza para o Problema 1.38 (propagação numérica).
Converter incertezas para SI (peguei os valores do enunciado):
- Incerteza na pressão:
. Conversão: , logo
- Incerteza na temperatura:
. Neste caso (já em Kelvin porque diferença em Celsius e Kelvin são iguais).
Usar a mesma fórmula de propagação:
Calcular numericamente:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Somando em quadratura:
Interpretação curta: ao contrário do caso anterior, aqui a incerteza de temperatura dá uma contribuição comparável ou maior à da pressão (porque
é relativamente maior em termos relativos).
Passo 7
Resumo, comentários finais e incentivo (rápido):
- Usei a equação do gás ideal para obter
e a fórmula de propagação baseada em derivadas parciais para obter . - A lógica é sempre a mesma para problemas assim: converter unidades corretamente, calcular a quantidade nominal e depois ver como pequenas variações em
e afetam via derivadas. - Você conseguiu! Guardando esses passos, na prova é só aplicar as conversões e a fórmula de propagação com calma.