1.37 Calcule a massa específica do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal. Estime a incerteza experimental na massa específica calculada para a condição-padrão ( 29,9 polegadas de mercúrio e 59^{\circ} \mathrm{F} ) se a incerteza na medida da altura do barômetro \dot{c} \pm 0,1 polegada de mercúrio e a incerteza na medida da temperatura é \pm 0.5^{\circ} \mathrm{F}. (Note que 29,9 polegadas de mercúrio correspondem a 14,7 \mathrm{psia}.)
1.38 Repita o cálculo da incerteza do Problema 1.37 para o ar em um congelador. Considere que a altura medida no barômetro é ( 759 \pm 1 ) mmHg e a temperatura é ( -20 \pm 0,5)^{\circ} \mathrm{C}. [Observe que 759 mmHg correspondem a 101 kPa (abs).]

Passo 1

Vou deixar claro o que cada problema pede e listar os dados fornecidos.
Problema 1.37 — pedido:
  • Calcular a massa específica (densidade) do ar padrão a partir da equação de estado do gás ideal.
  • Estimar a incerteza experimental da massa específica para as condições-padrão dadas, usando as incertezas nas medidas de pressão e temperatura.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pressão: 29{,}9 polegadas de mercúrio (correspondem a 14{,}7\\ \mathrm{psia}). Incerteza na leitura do barômetro: \pm 0{,}1 polegada de mercúrio.
  • Temperatura: 59^\circ\mathrm{F}. Incerteza na leitura da temperatura: \pm 0{,}5^\circ\mathrm{F}.
Problema 1.38 — pedido:
  • Repetir o cálculo da incerteza do Problema 1.37 para o ar em um congelador, com nova pressão e temperatura.
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Pressão: 759\pm1 mmHg (o enunciado observa que 759\\ \mathrm{mmHg} correspondem a 101\\ \mathrm{kPa} absoluto).
  • Temperatura: -20\pm0{,}5^\circ\mathrm{C}.
Observação importante para ambos os problemas:
  • Vou usar a equação de estado do gás ideal em forma útil para densidade: \rho=\dfrac{p}{R_{\mathrm{sp}}\,T}. A incerteza será obtida por propagação de erros (derivadas parciais), assumindo erros independentes em p e T.

Passo 2

Relembrando e definindo as fórmulas que vou usar (aulas rápidas e concretas):
Equação de estado do gás ideal (forma para densidade):
\rho=\frac{p}{R_{\mathrm{sp}}\,T},
onde
  • \rho é a massa específica (densidade) em \mathrm{kg/m^3},
  • p é a pressão absoluta em \mathrm{Pa},
  • T é a temperatura absoluta em \mathrm{K},
  • R_{\mathrm{sp}} é a constante específica do gás (para o ar).
Constante específica do ar:
R_{\mathrm{sp}}=\frac{R_u}{M},
onde
  • R_u é a constante universal dos gases: R_u=8{,}314462618\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
  • M é a massa molar do ar, M\approx0{,}02897\\ \mathrm{kg/mol} (massa molar média do ar seco).
Calculando R_{\mathrm{sp}} (mostrar contas para usar depois):
R_{\mathrm{sp}}=\frac{8{,}314462618}{0{,}02897}\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
Explicação rápida: R_{\mathrm{sp}} diz quanto de energia por unidade de massa por grau de temperatura relaciona pressão, volume e temperatura; é a constante que aparece ao usar o gás ideal por quilograma em vez de por mol.
Propagação de incerteza (método):
Para \rho(p,T)=p/(R_{\mathrm{sp}}T) com R_{\mathrm{sp}} constante, as derivadas parciais são
\frac{\partial\rho}{\partial p}=\frac{1}{R_{\mathrm{sp}}T},\qquad \frac{\partial\rho}{\partial T}=-\frac{p}{R_{\mathrm{sp}}T^2}=-\frac{\rho}{T}.
Assumindo p e T independentes, a variância (quadrado da incerteza combinada) é
(\Delta\rho)^2=\left(\frac{\partial\rho}{\partial p}\Delta p\right)^2+\left(\frac{\partial\rho}{\partial T}\Delta T\right)^2 =\left(\frac{\Delta p}{R_{\mathrm{sp}}T}\right)^2+\left(\frac{\rho\,\Delta T}{T}\right)^2.
Isso significa: calcule os dois efeitos (erro em pressão e erro em temperatura) como contribuições quadráticas e some.

Passo 3

Resolver o Problema 1.37 — converter valores para unidades SI e calcular a massa específica nominal.
Conversões e valores nominais (peguei as correspondências do enunciado e converti para SI):
  • O enunciado disse que 29{,}9 inHg corresponde a 14{,}7\\ \mathrm{psia}. Vou converter para pascal usando 1\\ \mathrm{psi}=6894{,}757\\ \mathrm{Pa}:
p = 14{,}7\\ \mathrm{psi}\times 6894{,}757\\ \frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{psi}} =14{,}7\times6894{,}757\\ \mathrm{Pa}\approx 101351{,}9\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: 59^\circ\mathrm{F}. Conversão para Kelvin:
T(^{\circ}\mathrm{C})=\frac{59-32}{1{,}8}=15^\circ\mathrm{C},\qquad T(\mathrm{K})=15+273{,}15=288{,}15\\ \mathrm{K}.
Agora aplicar a fórmula \rho=\dfrac{p}{R_{\mathrm{sp}}T} com R_{\mathrm{sp}}=287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\rho=\frac{101351{,}9}{287{,}05\times 288{,}15}\\ \mathrm{kg/m^3}.
Faço as contas:
287{,}05\times 288{,}15\approx 82713{,}46,
\rho\approx\frac{101351{,}9}{82713{,}46}\approx 1{,}22535\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário: este valor coincide com o valor padrão conhecido de aproximadamente 1{,}225\\ \mathrm{kg/m^3} ao nível do mar e 15^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Estimativa da incerteza para o Problema 1.37 (propagação numérica).
Converter as incertezas para unidades SI (peguei os valores de incerteza do enunciado e converti):
  • Incerteza na pressão: \pm 0{,}1 inHg. Conversão: 1 inHg \approx 3386{,}39\\ \mathrm{Pa} (ou usei a proporção via psi). Assim
\Delta p = 0{,}1\\ \text{inHg}\approx 0{,}1\times3386{,}39\\ \mathrm{Pa}\approx 338{,}64\\ \mathrm{Pa}.
  • Incerteza na temperatura: \pm 0{,}5^\circ\mathrm{F}. Conversão para K:
\Delta T = 0{,}5^\circ\mathrm{F}\times\frac{5}{9}\approx 0{,}27778\\ \mathrm{K}.
Aplicar a fórmula da propagação:
(\Delta\rho)^2=\left(\frac{\Delta p}{R_{\mathrm{sp}}T}\right)^2+\left(\frac{\rho\,\Delta T}{T}\right)^2.
Calcular cada termo numericamente:
  • Primeiro termo:
\frac{\Delta p}{R_{\mathrm{sp}}T}=\frac{338{,}64}{287{,}05\times 288{,}15}\approx\frac{338{,}64}{82713{,}46}\approx 0{,}004096\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Segundo termo:
\frac{\rho\,\Delta T}{T}=1{,}22535\times\frac{0{,}27778}{288{,}15}\approx 1{,}22535\times 0{,}0009638\approx 0{,}001181\\ \mathrm{kg/m^3}.
Somando em quadratura:
\Delta\rho=\sqrt{(0{,}004096)^2+(0{,}001181)^2}\approx\sqrt{1{,}677\cdot10^{-5}+1{,}394\cdot10^{-6}} \approx\sqrt{1{,}816\cdot10^{-5}}\approx 0{,}00426\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação curta: o erro dominante aqui vem da incerteza de pressão (medida do barômetro); a incerteza de temperatura tem contribuição menor.

Passo 5

Resolver o Problema 1.38 — calcular a massa específica nominal para as condições do congelador (converter para SI e aplicar a fórmula).
Dados nominais (peguei do enunciado e converti):
  • Pressão: 759\\ \mathrm{mmHg} corresponde a 101\\ \mathrm{kPa} (absoluto), ou seja
p=101{,}0\\ \mathrm{kPa}=101000\\ \mathrm{Pa}.
  • Temperatura: -20^\circ\mathrm{C}. Converter para Kelvin:
T=-20+273{,}15=253{,}15\\ \mathrm{K}.
Calcular a massa específica nominal:
\rho=\frac{p}{R_{\mathrm{sp}}T}=\frac{101000}{287{,}05\times 253{,}15}.
Faço as contas:
287{,}05\times 253{,}15\approx 72666{,}71,
\rho\approx\frac{101000}{72666{,}71}\approx 1{,}39031\\ \mathrm{kg/m^3}.
Comentário: ar mais frio tem densidade maior, por isso \rho aumentou em relação ao caso do problema anterior.

Passo 6

Estimativa da incerteza para o Problema 1.38 (propagação numérica).
Converter incertezas para SI (peguei os valores do enunciado):
  • Incerteza na pressão: \pm1\\ \mathrm{mmHg}. Conversão: 1\\ \mathrm{mmHg}=133{,}322\\ \mathrm{Pa}, logo
\Delta p=133{,}322\\ \mathrm{Pa}.
  • Incerteza na temperatura: \pm0{,}5^\circ\mathrm{C}. Neste caso \Delta T=0{,}5\\ \mathrm{K} (já em Kelvin porque diferença em Celsius e Kelvin são iguais).
Usar a mesma fórmula de propagação:
(\Delta\rho)^2=\left(\frac{\Delta p}{R_{\mathrm{sp}}T}\right)^2+\left(\frac{\rho\,\Delta T}{T}\right)^2.
Calcular numericamente:
  • Primeiro termo:
\frac{\Delta p}{R_{\mathrm{sp}}T}=\frac{133{,}322}{287{,}05\times 253{,}15}\approx\frac{133{,}322}{72666{,}71}\approx 0{,}001835\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Segundo termo:
\frac{\rho\,\Delta T}{T}=1{,}39031\times\frac{0{,}5}{253{,}15}\approx 1{,}39031\times 0{,}0019756\approx 0{,}002749\\ \mathrm{kg/m^3}.
Somando em quadratura:
\Delta\rho=\sqrt{(0{,}001835)^2+(0{,}002749)^2}\approx\sqrt{3{,}366\cdot10^{-6}+7{,}558\cdot10^{-6}} \approx\sqrt{1{,}0924\cdot10^{-5}}\approx 0{,}00330\\ \mathrm{kg/m^3}.
Interpretação curta: ao contrário do caso anterior, aqui a incerteza de temperatura dá uma contribuição comparável ou maior à da pressão (porque \Delta T é relativamente maior em termos relativos).

Passo 7

Resumo, comentários finais e incentivo (rápido):
  • Usei a equação do gás ideal para obter \rho e a fórmula de propagação baseada em derivadas parciais para obter \Delta\rho.
  • A lógica é sempre a mesma para problemas assim: converter unidades corretamente, calcular a quantidade nominal e depois ver como pequenas variações em p e T afetam \rho via derivadas.
  • Você conseguiu! Guardando esses passos, na prova é só aplicar as conversões e a fórmula de propagação com calma.

Resposta

\rho_{\text{(1.37)}}=1{,}2254\pm 0{,}0043\\ \mathrm{kg/m^3}\n
\rho_{\text{(1.38)}}=1{,}3903\pm 0{,}0033\\ \mathrm{kg/m^3}

Exercícios relacionados