É sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por
, onde
é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como
e
. A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que
onde
e
é a altitude com relação ao nível do mar em m . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera considerando a variação de
com a altitude.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados fornecidos:
- Temperatura na troposfera varia linearmente com altitude:
onde e - Gravidade depende da altitude:
onde e (o raio efetivo usado no enunciado).
- Temperatura na troposfera varia linearmente com altitude:
- O objetivo pedido: obter uma relação para a variação da pressão na troposfera considerando a variação de
com a altitude — isto é, achar em função de (ou pelo menos ), supondo condições normais de atmosfera e gás ideal.
Observações úteis (serão usadas adiante):
- Pressão ao nível do mar será denotada por
. - Vamos trabalhar com a equação hidrostática e a equação do gás ideal para ar.
Passo 2
Equação hidrostática e equação do gás ideal — relembrando e explicando:
- Equação hidrostática: equilíbrio vertical entre peso e gradiente de pressão. Em forma diferencial:
onde
é a pressão,
é a densidade do ar e
é a aceleração da gravidade no nível
.
- Equação do gás ideal (na forma por massa específica): relaciona pressão, densidade e temperatura:
onde
é a constante gasosa específica do ar (para ar seco
). Aqui:
-
em , -
em , -
em , -
em . -
Substituindo
na hidrostática obtemos uma equação diferencial para :
Esta forma é muito usada: a variação percentual (relativa) da pressão depende de
.
Passo 3
Colocar as expressões de
e
no diferencial e separar variáveis:
- Substituindo
e em , obtemos
- Agora separamos variáveis e integraremos entre 0 e
(pressão vai de a ):
- A integral à esquerda dá
. Então
A tarefa agora é calcular a integral do lado direito.
Passo 4
Mudar variável para simplificar a integral e escrever constantes úteis:
- Defina
(já dado) e faça a substituição
- Também introduza a constante
Observe que
E note que
aparece com frequência; defina
para facilitar.
- Substituindo na integral:
Portanto devemos avaliar
Passo 5
Resolver a integral racional por frações parciais — passo a passo:
Queremos decompor a função
em termos simples da forma
. Assim,
Multiplicando por
obtemos a identidade
Agrupando potências de
e igualando coeficientes, chega-se ao sistema (resumido abaixo):
- coeficiente de
: ⇒ , - coeficiente de
: ⇒ , - termo independente:
.
A partir de
e
obtemos
Em seguida
Passo 6
Integrar usando os coeficientes encontrados:
- Com a decomposição temos
- Integrando em
:
-
As primitivas são:
-
, -
, -
(pois derivada de é ).
-
-
Note que
(verifique com as expressões obtidas), o que simplifica a combinação dos termos logarítmicos. -
Assim uma primitiva
é
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
e simplificar:
- Avaliação entre os limites dá
- Usando
e , obtemos, depois de simplificar termos,
- Reescrevendo o segundo termo de forma mais simples (usar
e manipular):
Portanto
- Lembrete das definições usadas:
-
, -
, -
, -
, -
.
-
Passo 8
Voltar para a expressão da pressão e escrever a relação final:
- Recordando que
substituímos
para obter
- Finalmente podemos escrever a pressão explicitamente:
onde
.
Esta é a expressão pedida: a variação de
com
na troposfera levando em conta a dependência de
com
e a queda linear da temperatura com a altitude.
Resposta
onde
,
,
e
é a constante gasosa específica do ar (
).