É sabido que a temperatura da atmosfera varia com a altitude. Na troposfera, que se estende até uma altitude de 11 km , por exemplo, a variação da temperatura pode ser aproximada por T=T_{0}-\beta z, onde T_{0} é a temperatura no nível do mar, que pode ser tomada como 288,15 \mathrm{~K} e \beta=0,0065 \mathrm{~K} / \mathrm{m}. A aceleração da gravidade também muda com a altitude, uma vez que g(z)= g_{0} /(1+z / 6.370 .320)^{2} onde g_{0}=9,807 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e z é a altitude com relação ao nível do mar em m . Obtenha uma relação para a variação de pressão na troposfera considerando a variação de g com a altitude.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura na troposfera varia linearmente com altitude: T(z)=T_{0}-\beta z, onde \,T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e \beta=0{,}0065\\ \mathrm{K/m}.
    • Gravidade depende da altitude: g(z)=\dfrac{g_{0}}{\bigl(1+z/a\bigr)^{2}}, onde \,g_{0}=9{,}807\\ \mathrm{m/s^{2}} e \,a=6\,370\,320\\ \mathrm{m} (o raio efetivo usado no enunciado).
  • O objetivo pedido: obter uma relação para a variação da pressão na troposfera considerando a variação de g com a altitude — isto é, achar p(z) em função de z (ou pelo menos \ln(p/p_0)), supondo condições normais de atmosfera e gás ideal.
Observações úteis (serão usadas adiante):
  • Pressão ao nível do mar será denotada por p_0=p(0).
  • Vamos trabalhar com a equação hidrostática e a equação do gás ideal para ar.

Passo 2

Equação hidrostática e equação do gás ideal — relembrando e explicando:
  • Equação hidrostática: equilíbrio vertical entre peso e gradiente de pressão. Em forma diferencial:
\frac{dp}{dz} = -\rho(z)\, g(z),
onde p(z) é a pressão, \rho(z) é a densidade do ar e g(z) é a aceleração da gravidade no nível z.
  • Equação do gás ideal (na forma por massa específica): relaciona pressão, densidade e temperatura:
p = \rho\, R\, T,
onde R é a constante gasosa específica do ar (para ar seco \,R\approx 287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Aqui:
  • p em \mathrm{Pa},
  • \rho em \mathrm{kg/m^3},
  • T em \mathrm{K},
  • R em \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Substituindo \rho = p/(R T) na hidrostática obtemos uma equação diferencial para p:
\frac{dp}{dz} = -\frac{p}{R T(z)}\, g(z).
Esta forma é muito usada: a variação percentual (relativa) da pressão depende de g/T.

Passo 3

Colocar as expressões de T(z) e g(z) no diferencial e separar variáveis:
  • Substituindo T(z)=T_{0}-\beta z e g(z)=g_{0}/(1+z/a)^{2} em \dfrac{dp}{dz} = -\dfrac{p}{R T(z)} g(z), obtemos
\frac{1}{p}\frac{dp}{dz} = -\frac{g_{0}}{R}\,\frac{1}{\bigl(1+z/a\bigr)^{2}}\,\frac{1}{T_{0}-\beta z}.
  • Agora separamos variáveis e integraremos entre 0 e z (pressão vai de p_0 a p(z)):
\int_{p_0}^{p(z)} \frac{1}{p}\,dp = -\frac{g_{0}}{R}\int_{0}^{z} \frac{1}{\bigl(1+z'/a\bigr)^{2}}\,\frac{1}{T_{0}-\beta z'}\,dz'.
  • A integral à esquerda dá \ln\!\bigl(p(z)/p_0\bigr). Então
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_0}\right) = -\frac{g_{0}}{R}\,\int_{0}^{z} \frac{1}{\bigl(1+z'/a\bigr)^{2}}\,\frac{1}{T_{0}-\beta z'}\,dz'.
A tarefa agora é calcular a integral do lado direito.

Passo 4

Mudar variável para simplificar a integral e escrever constantes úteis:
  • Defina a = 6\,370\,320\\ \mathrm{m} (já dado) e faça a substituição
y = 1+\frac{z'}{a}\quad\Rightarrow\quad z' = a(y-1),\quad dz' = a\,dy.
  • Também introduza a constante
C = T_{0} + \beta a.
Observe que
T_{0}-\beta z' = T_{0}-\beta a(y-1) = C - \beta a\,y.
E note que \beta a aparece com frequência; defina k=\beta a para facilitar.
  • Substituindo na integral:
\int_{0}^{z} \frac{1}{(1+z'/a)^{2}}\frac{1}{T_{0}-\beta z'}\,dz' = \int_{y=1}^{y=1+z/a} \frac{a\,dy}{y^{2}\,\bigl(C - k y\bigr)}.
Portanto devemos avaliar
I(z)=\int_{1}^{1+z/a}\frac{a\,dy}{y^{2}\bigl(C-ky\bigr)}.

Passo 5

Resolver a integral racional por frações parciais — passo a passo:
Queremos decompor a função
\frac{a}{y^{2}(C-ky)}
em termos simples da forma \dfrac{A}{y}+\dfrac{B}{y^{2}}+\dfrac{D}{C-ky}. Assim,
\frac{a}{y^{2}(C-ky)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{y^{2}}+\frac{D}{C-ky}.
Multiplicando por y^{2}(C-ky) obtemos a identidade
a = A y(C-ky) + B(C-ky) + D y^{2}.
Agrupando potências de y e igualando coeficientes, chega-se ao sistema (resumido abaixo):
  • coeficiente de y^{2}: -A k + D = 0 D = A k,
  • coeficiente de y: A C - B k = 0 B = \dfrac{A C}{k},
  • termo independente: B C = a.
A partir de B C = a e B=\dfrac{A C}{k} obtemos
A=\frac{a k}{C^{2}}=\frac{\beta a^{2}}{C^{2}}.
Em seguida
B=\frac{a}{C},\qquad D = A k = \frac{\beta^{2} a^{3}}{C^{2}}.

Passo 6

Integrar usando os coeficientes encontrados:
  • Com a decomposição temos
\frac{a}{y^{2}(C-ky)} = \frac{A}{y} + \frac{B}{y^{2}} + \frac{D}{C-ky}.
  • Integrando em y:
\int \frac{a\,dy}{y^{2}(C-ky)} = A\int\frac{dy}{y} + B\int\frac{dy}{y^{2}} + D\int\frac{dy}{C-ky}.
  • As primitivas são:
    • \displaystyle A\int\frac{dy}{y}=A\ln y,
    • \displaystyle B\int\frac{dy}{y^{2}} = -\frac{B}{y},
    • \displaystyle D\int\frac{dy}{C-ky} = -\frac{D}{k}\ln(C-ky) (pois derivada de C-ky é -k).
  • Note que \dfrac{D}{k}=A (verifique com as expressões obtidas), o que simplifica a combinação dos termos logarítmicos.
  • Assim uma primitiva F(y) é
F(y)=A\ln y - \frac{B}{y} - A\ln(C-ky) + \text{const} = A\ln\!\left(\frac{y}{C-ky}\right) - \frac{B}{y} + \text{const}.

Passo 7

Avaliar a integral definida de y=1 a y=1+z/a e simplificar:
  • Avaliação entre os limites dá
I(z)=F(1+z/a)-F(1).
  • Usando C-ky = T_{0}-\beta z e C- k\cdot 1 = T_{0}, obtemos, depois de simplificar termos,
I(z)=A\ln\!\left(\frac{(1+z/a)\,T_{0}}{T_{0}-\beta z}\right) - B\Bigl(\frac{1}{1+z/a}-1\Bigr).
  • Reescrevendo o segundo termo de forma mais simples (usar B=a/C e manipular):
- B\Bigl(\frac{1}{1+z/a}-1\Bigr) = \frac{z}{C(1+z/a)}.
Portanto
I(z)=A\ln\!\left(\frac{(1+z/a)\,T_{0}}{T_{0}-\beta z}\right) + \frac{z}{C(1+z/a)}.
  • Lembrete das definições usadas:
    • A=\dfrac{\beta a^{2}}{C^{2}},
    • B=\dfrac{a}{C},
    • C=T_{0}+\beta a,
    • a=6\,370\,320\\ \mathrm{m},
    • k=\beta a.

Passo 8

Voltar para a expressão da pressão e escrever a relação final:
  • Recordando que
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{0}}\right) = -\frac{g_{0}}{R}\,I(z),
substituímos I(z) para obter
\ln\!\left(\frac{p(z)}{p_{0}}\right) = -\frac{g_{0}}{R}\left[ A\ln\!\left(\frac{(1+z/a)\,T_{0}}{T_{0}-\beta z}\right) + \frac{z}{C(1+z/a)}\right].
  • Finalmente podemos escrever a pressão explicitamente:
p(z)=p_{0}\exp\!\left\{ -\frac{g_{0}}{R}\left[ \frac{\beta a^{2}}{C^{2}}\ln\!\left(\frac{(1+z/a)\,T_{0}}{T_{0}-\beta z}\right) + \frac{z}{C(1+z/a)}\right]\right\},
onde \;C=T_{0}+\beta a.
Esta é a expressão pedida: a variação de p com z na troposfera levando em conta a dependência de g com z e a queda linear da temperatura com a altitude.

Resposta

p(z)=p_{0}\exp\!\left\{ -\frac{g_{0}}{R}\left[ \frac{\beta a^{2}}{C^{2}}\ln\!\left(\frac{(1+\tfrac{z}{a})\,T_{0}}{T_{0}-\beta z}\right) + \frac{z}{C(1+\tfrac{z}{a})}\right]\right\},
onde \;C=T_{0}+\beta a, \;a=6\,370\,320\\ \mathrm{m}, \;T_{0}=288{,}15\\ \mathrm{K} e \;R é a constante gasosa específica do ar ( \approx287{,}05\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}).

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