37^{\circ} Uma luz plano-polarizada incide sobre um único disco polarizador com a direção de E_{0} paralela à direção do eixo de transmissão. Em qual ângulo o disco deve ser girado para que a intensidade no feixe transmitido seja reduzida por um fator de
3,00

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Há uma luz plana-polarizada incidente sobre um polarizador.
  • A direção do campo elétrico incidente é inicialmente paralela ao eixo de transmissão do polarizador (ou seja, com o polarizador em posição zero a intensidade transmitida é máxima).
  • Queremos girar o disco polarizador de modo que a intensidade transmitida fique reduzida por um fator de 3{,}00 em relação à intensidade transmitida antes da rotação.
  • Pergunta: em qual ângulo (em relação à posição original) o disco deve ser girado para obter essa redução de intensidade?

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática, passo a passo).
  • Quando luz polarizada incide sobre um polarizador cuja direção de transmissão faz um ângulo \theta com a direção do campo elétrico da luz incidente, só a componente do campo na direção do eixo do polarizador passa.
  • A componente do campo elétrico transmitida vale \,E_{\text{t}} = E_{0}\cos\theta\,, onde:
    • E_{0} é a amplitude do campo elétrico incidente (quando o eixo está alinhado, \theta=0),
    • E_{\text{t}} é a amplitude do campo elétrico transmitido após o polarizador,
    • \theta é o ângulo entre a direção de E_{0} e o eixo do polarizador.
  • A intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico. Então, se chamarmos I_{0} a intensidade transmitida na posição inicial ( \theta=0), a intensidade transmitida para um ângulo \theta é dada por:
I(\theta)=I_{0}\cos^{2}\theta.
  • Esta relação é conhecida como Lei de Malus. Aqui cada símbolo significa:
    • I(\theta): intensidade transmitida com o polarizador girado de \theta,
    • I_{0}: intensidade transmitida com o eixo alinhado ( \theta=0),
    • \cos\theta: cosseno do ângulo entre polarização e eixo do polarizador.

Passo 3

Aplicar a condição do enunciado à fórmula.
  • Queremos que a intensidade seja reduzida por fator 3{,}00. Ou seja:
I(\theta)=\frac{I_{0}}{3{,}00}.
  • Substituindo na Lei de Malus:
\frac{I_{0}}{3{,}00}=I_{0}\cos^{2}\theta.
  • Podemos cancelar I_{0} (assumindo I_{0}\neq0), obtendo:
\cos^{2}\theta=\frac{1}{3{,}00}.

Passo 4

Resolver a equação para \theta.
  • Tomando a raiz quadrada (e lembrando que \cos\theta pode ser positivo ou negativo, mas o ângulo físico entre 0º e 90º tem cosseno positivo), temos:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Portanto o ângulo buscado é
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right).

Passo 5

Avaliar numericamente \theta (como fazer a conta e interpretação).
  • Primeiro calcule \dfrac{1}{\sqrt{3}}. Sabendo \sqrt{3}\approx1{,}73205, tem-se
\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0{,}57735.
  • Agora \theta=\operatorname{arccos}(0{,}57735). Usando uma calculadora ou tabela de arcos, isso dá aproximadamente
\theta\approx54{,}74^\circ.
  • Interpretação prática: girando o polarizador cerca de \,54{,}74^\circ a partir da posição alinhada, a componente transmitida do campo cai o suficiente para que a intensidade total seja 1/3 da intensidade original. Observação: dentro do intervalo [0^\circ,90^\circ] essa é a solução física que queremos.

Resposta

54{,}74^\circ

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