43 O laser de dióxido de carbono é um dos mais poderosos já desenvolvidos. A diferença de energia entre os dois níveis do laser é de 0,117 \mathrm{eV}. Determine a freqüência e o comprimento de onda da radiação emitida por esse laser. Em qual porção do espectro eletromagnético ocorre essa radiação?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (dados e perguntas extraídas do enunciado):
  • Dado: a diferença de energia entre os níveis é \,0,117\\ \mathrm{eV}.
  • Perguntas:
    1. Determinar a frequência da radiação emitida.
    2. Determinar o comprimento de onda da radiação emitida.
    3. Identificar em qual porção do espectro eletromagnético essa radiação ocorre.
Informações úteis que vou usar (valores físicos que são padrão):
  • 1 elétron-volt vale \,1\\ \mathrm{eV}=1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Constante de Planck: \,h=6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\,s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: \,c=2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Converter a energia dada em elétron-volts para joules (porque as fórmulas usam SI).
Fórmula de conversão: \,E_{\mathrm{J}} = E_{\mathrm{eV}}\times(1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}).
Aqui \,E_{\mathrm{eV}}=0,117\\ \mathrm{eV}. Então
E_{\mathrm{J}} = 0,117\times 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Agora calculamos passo a passo o produto das mantissas e os expoentes:
0,117\times 1,602176634 = 0,187454666178,
portanto
E_{\mathrm{J}} = 0,187454666178\times10^{-19}\\ \mathrm{J} = 1,87454666178\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.
Arredondando razoavelmente (três algarismos significativos, porque o dado inicial tem três):
E_{\mathrm{J}}\approx 1,87\times10^{-20}\\ \mathrm{J}.

Passo 3

Usar a relação de Planck para obter a frequência: \,E = h f, onde
  • \,E é a energia do fóton (em joules),
  • \,h é a constante de Planck,
  • \,f é a frequência (em hertz).
Isolando f:
f=\frac{E}{h}.
Substituindo os valores (usando a forma não arredondada para maior precisão):
f=\frac{1,87454666178\times10^{-20}}{6,62607015\times10^{-34}}\\ \mathrm{Hz}.
Dividindo as mantissas e subtraindo os expoentes:
\frac{1,87454666178}{6,62607015}\approx 0,2828, \qquad 10^{-20}/10^{-34}=10^{14}.
Portanto
f\approx 0,2828\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}=2,828\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.
Arredondando a três algarismos significativos:
f\approx 2,83\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Calcular o comprimento de onda \lambda. Há duas fórmulas equivalentes:
  • \, \lambda=\dfrac{c}{f}, onde \,c é a velocidade da luz;
  • ou \,\lambda=\dfrac{h c}{E} (mesma coisa, só reescrita).
Vou usar \,\lambda=\dfrac{h c}{E}. Primeiro calculo o produto h c:
h c = (6,62607015\times10^{-34})(2,99792458\times10^{8})\\ \mathrm{J\,m} =1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\,m}.
Agora
\lambda=\frac{h c}{E}=\frac{1,98644586\times10^{-25}}{1,87454666178\times10^{-20}}\\ \mathrm{m}.
Dividindo as mantissas e subtraindo expoentes:
\frac{1,98644586}{1,87454666178}\approx 1,0597, \qquad 10^{-25}/10^{-20}=10^{-5}.
Logo
\lambda\approx 1,0597\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=1,0597\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros ( \,1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}):
\lambda\approx 10,597\\ \mu\mathrm{m}\approx 10,6\\ \mu\mathrm{m}.
Arredondando a três algarismos significativos:
\lambda\approx 1,06\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=10,6\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 5

Identificar a porção do espectro: comprimentos de onda da ordem de \,10{,}6\\ \mu\mathrm{m} (ou \sim 10^{-5}\\ \mathrm{m}) estão na região do infravermelho do espectro eletromagnético. Especificamente, \sim10,6\\ \mu\mathrm{m} é a faixa típica do infravermelho médio (é a conhecida linha de atuação do laser de dióxido de carbono).
Força final: esse cálculo mostra por que lasers de CO _2 são usados para corte e aplicações térmicas — entregam fótons no infravermelho com comprimento de onda em torno de 10{,}6\\ \mu\mathrm{m}, que interagem fortemente com materiais.

Resposta

f\approx 2,83\times10^{13}\\ \mathrm{Hz}
\lambda\approx 1,06\times10^{-5}\\ \mathrm{m}=10{,}6\\ \mu\mathrm{m}
Região do espectro: infravermelho (infravermelho médio)

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