37^{\circ} Uma luz plano-polarizada incide sobre um único disco polarizador com a direção de E_{0} paralela à direção do eixo de transmissão. Em qual ângulo o disco deve ser girado para que a intensidade no feixe transmitido seja reduzida por um fator de
5,00

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Informação: uma luz plano-polarizada incide sobre um único polarizador (um disco polarizador). A direção do campo elétrico incidente está paralela ao eixo de transmissão do polarizador inicialmente.
  • Informação implícita: quando o eixo do polarizador está paralelo à direção de E_0, toda a intensidade incidente passa — chamamos essa intensidade inicial de I_0.
  • Pedido: girar o disco (isto é, mudar o ângulo entre a direção de E_0 e o eixo de transmissão) de modo que a intensidade transmitida seja reduzida por um fator de 5{,}00. Ou seja, queremos que a intensidade transmitida I satisfaça I = \dfrac{I_0}{5}.
  • O que vamos encontrar: o ângulo \theta entre a direção de E_0 e o eixo do polarizador (após girar) que produz essa redução.

Passo 2

Fórmula que governa o problema (explicação didática passo a passo).
  • Ideia física: um polarizador só transmite a componente do campo elétrico na direção do seu eixo. Se o campo elétrico incidente tem amplitude \,E_0, e o eixo do polarizador faz um ângulo \theta com essa direção, a componente que passa é
E_{\text{trans}} = E_0\cos\theta.
Expliquei: \cos\theta aparece porque a projeção de um vetor numa direção que forma ângulo \theta com ele é multiplicada por \cos\theta.
  • Relação entre intensidade e campo elétrico: para uma onda eletromagnética monocromática, a intensidade média é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico. Assim, se a intensidade incidente (quando \theta=0) é I_0\propto E_0^2, a intensidade transmitida é proporcional a E_{\text{trans}}^2. Isso nos dá a Lei de Malus:
I = I_0\cos^2\theta.
Expliquei: aqui I é a intensidade transmitida quando o eixo está a \theta de E_0, e I_0 é a intensidade transmitida quando \theta=0 (ou seja, intensidade incidente polarizada na direção do eixo).

Passo 3

Aplicar a condição do enunciado à Lei de Malus e isolar \theta.
  • Condição pedida: reduzir a intensidade por um fator de 5{,}00 significa
\frac{I}{I_0}=\frac{1}{5}.
  • Usando a Lei de Malus:
\cos^2\theta=\frac{1}{5}.
  • Tomando raiz quadrada (lembrando que |\cos\theta|=\dfrac{1}{\sqrt{5}}):
|\cos\theta|=\frac{1}{\sqrt{5}}.
Como fisicamente estamos procurando um ângulo entre 0^\circ e 90^\circ (rotacão que reduz a intensidade), escolhemos o sinal positivo:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Encontrar \theta de forma conveniente (um truque que facilita cálculo sem calculadora).
  • Calcule o seno associado:
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\sqrt{1-\frac{1}{5}}=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
  • Então a tangente é
\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{2/\sqrt{5}}{1/\sqrt{5}}=2.
Explicação prática: isso significa que \theta é o ângulo cujo valor da tangente é 2. Para visualizar sem calculadora, pensar num triângulo retângulo com cateto adjacente 1, cateto oposto 2 e hipotenusa \sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} (isto confirma \cos\theta=1/\sqrt{5} e \sin\theta=2/\sqrt{5}).
  • Agora interpretar numericamente: \theta=\arctan 2. Em graus isso vale aproximadamente
\theta\approx 63{,}435^\circ.
Em radianos isso é aproximadamente \,1{,}1071\\ \text{rad}.

Passo 5

Observações finais e interpretação física.
  • O ângulo mínimo (em valor absoluto) que reduz a intensidade em fator 5 é \theta\approx63{,}435^\circ. Girar no sentido oposto (para -63{,}435^\circ) dá a mesma redução porque a dependência é em \cos^2\theta.
  • Resumo prático para prova: usar a Lei de Malus I=I_0\cos^2\theta, pôr I/I_0=1/5, obter \cos\theta=1/\sqrt{5} e concluir \theta=\arctan 2\approx63{,}4^\circ. Vai tranquilo — o passo chave é transformar \cos^2\theta=1/5 numa tangente simples, como fizemos com o triângulo.

Resposta

\theta \approx 63{,}435^\circ

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