1.37 Determine os seguintes fatores de conversāo:
\frac{\mathrm{Btu} /\left(\mathrm{h} \cdot \mathrm{ft}^{2} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F}\right)}{4,882 \mathrm{kcal} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~h} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)} \cdot \quad \frac{\mathrm{Btu} /\left(\mathrm{h} \cdot \mathrm{ft} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{F}\right)}{0,0173 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{cm} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)}

Passo 1

O enunciado pede que se calcule numericamente os dois fatores de conversão abaixo (cada fração é um número sem unidades):
\frac{\mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{ }^\circ\mathrm{F})}{4{,}882\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}\cdot{ }^\circ\mathrm{C})} \qquad\text{e}\qquad \frac{\mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{ }^\circ\mathrm{F})}{0{,}0173\\ \mathrm{W}/(\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C})}.
Em outras palavras: converter a unidade do numerador para a unidade do denominador e dividir pelo número dado no denominador. Vou usar constantes de conversão padrão e mostrar cada passo.

Passo 2

Constantes e raciocínio de conversão que vou usar (tudo mostrado em forma clara):
  • Energia: 1\\ \mathrm{Btu}=1055{,}05585262\\ \mathrm{J}.
    Como 1\\ \mathrm{kcal}=4184\\ \mathrm{J}, tem-se 1\\ \mathrm{Btu}= \frac{1055{,}05585262}{4184}\\ \mathrm{kcal}\approx 0{,}2521644004\\ \mathrm{kcal}.
  • Comprimento/área: 1\\ \mathrm{ft}=0{,}3048\\ \mathrm{m},\qquad 1\\ \mathrm{ft}^2=0{,}09290304\\ \mathrm{m}^2.Assim 1/(\mathrm{ft}^2)=\frac{1}{0{,}09290304}\\ \frac{1}{\mathrm{m}^2}\approx 10{,}7639104167\\ \frac{1}{\mathrm{m}^2}.E para comprimento linear 1\\ \mathrm{ft}=30{,}48\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad 1/(\mathrm{ft})=\frac{1}{30{,}48}\\ \frac{1}{\mathrm{cm}}\approx 0{,}03280839895\\ \frac{1}{\mathrm{cm}}.
  • Tempo: 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}.
  • Temperatura: uma diferença de 1\\ ^\circ\mathrm{C} corresponde a 1{,}8\\ ^\circ\mathrm{F}. Logo, para converter uma quantidade "por ^\circ\mathrm{F}" em "por ^\circ\mathrm{C}" multiplica-se por 1{,}8 (porque 1/^\circ\mathrm{F} = 1{,}8/^\circ\mathrm{C}).
Vou aplicar essas regras a cada caso.

Passo 3

Conversão do primeiro fator. Primeiro converto
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{ }^\circ\mathrm{F}}
para \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}).
Fatores a multiplicar:
  • Btu \to kcal: \;1\\ \mathrm{Btu}=0{,}2521644004\\ \mathrm{kcal}.
  • 1/(\mathrm{ft}^2)\to 1/(\mathrm{m}^2): multiplicar por 10{,}7639104167.
  • 1/^\circ\mathrm{F}\to 1/^\circ\mathrm{C}: multiplicar por 1{,}8.
    Tempo em horas fica igual, não há fator para hora.
Portanto
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{ }^\circ\mathrm{F}} =0{,}2521644004\times 10{,}7639104167\times 1{,}8\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}}.
Calculo os produtos em etapas:
0{,}2521644004\times 1{,}8=0{,}45389592072,
0{,}45389592072\times 10{,}7639104167\approx 4{,}885701\\ \frac{\mathrm{kcal}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}}.
Agora divido pelo número do denominador do enunciado:
\frac{1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{ }^\circ\mathrm{F})}{4{,}882\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{h}\cdot{ }^\circ\mathrm{C})} =\frac{4{,}885701}{4{,}882}\approx 1{,}000768.

Passo 4

Comentário didático curto sobre o fator de temperatura: por que multiplicar por 1{,}8?
Se uma diferença de temperatura é \Delta T em ^\circ\mathrm{C}, então em ^\circ\mathrm{F} essa mesma diferença vale 1{,}8\,\Delta T. Assim, uma quantidade por unidade ^\circ\mathrm{F} corresponde a 1{,}8 vezes a quantidade por unidade ^\circ\mathrm{C}. Esse é o motivo do fator 1{,}8.

Passo 5

Conversão do segundo fator. Quero primeiro expressar
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{ }^\circ\mathrm{F}}
em \mathrm{W}/(\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}).
Uso passos e constantes:
  • 1\\ \mathrm{Btu}=1055{,}05585262\\ \mathrm{J}.
  • 1\\ \mathrm{h}=3600\\ \mathrm{s}, logo 1\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{h}=1055{,}05585262/3600\\ \mathrm{J/s}\approx 0{,}29307107\\ \mathrm{W}.
  • Converter o denominador linear: 1/(\mathrm{ft})=1/(30{,}48\\ \mathrm{cm})\approx 0{,}03280839895\\\ 1/\mathrm{cm}.
  • Converter temperatura: multiplicar por 1{,}8 como explicado.
Assim
1\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{ }^\circ\mathrm{F}} =0{,}29307107\times\frac{1}{30{,}48}\times 1{,}8\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}}.
Calculo em etapas:
0{,}29307107\times\frac{1}{30{,}48}= \frac{0{,}29307107}{30{,}48}\approx 0{,}00961553\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{F}},
0{,}00961553\times 1{,}8\approx 0{,}01730795\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C}}.
Agora divido pelo número do denominador do enunciado:
\frac{1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{ }^\circ\mathrm{F})}{0{,}0173\\ \mathrm{W}/(\mathrm{cm}\cdot{ }^\circ\mathrm{C})} =\frac{0{,}01730795}{0{,}0173}\approx 1{,}00046.
(Valores ligeiramente diferentes daquelas tabeladas surgem por causa de constantes com várias casas decimais; o importante é compreender a cadeia de conversões.)

Passo 6

Resumo numérico final dos dois fatores (valores arredondados a 6 algarismos significativos para conferência):
  • Primeiro fator: \approx 1{,}00077.
  • Segundo fator: \approx 1{,}00046.
Força-se a conclusão: ambos os fatores são praticamente iguais a 1 — isto significa que os valores numéricos escolhidos no enunciado ( 4{,}882 e 0{,}0173) já são as correspondências aproximadas para 1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}^2\cdot{ }^\circ\mathrm{F}) e 1\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{h}\cdot\mathrm{ft}\cdot{ }^\circ\mathrm{F}), respectivamente.

Resposta

1{,}00077
1{,}00046

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