1.37 A massa da bola de golfe oficial inglesa é
g e seu diâmetro médio é
. Determine a massa específica e a densidade relativa da bola de golfe inglesa. Estime as incertezas nos valores calculados.
Passo 1
O enunciado dá dois dados com suas incertezas e pede a massa específica (densidade) e a densidade relativa da bola de golfe, com estimativa das incertezas. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem.
Dados (peguei do enunciado):
- Massa:
. - Diâmetro médio:
.
O que o problema pede:
- A massa específica (densidade) da bola, isto é
, onde é o volume da esfera. - A densidade relativa (também chamada gravidade específica), isto é a razão
. Vou assumir (água pura a C — costumeiro em exercícios). - Estimar as incertezas nos valores calculados a partir das incertezas dadas em
e .
Observações úteis para a resolução (não é solução ainda):
- A bola é (aproximadamente) uma esfera: volume
, com . - As incertezas serão propagadas usando aproximações de primeira ordem (linearização); para quantidades do tipo
vale quando é pequeno. Para produto/razão de grandezas independentes, as incertezas relativas somam em quadratura.
Passo 2
Converter unidades e calcular o raio nominal e sua incerteza (passo importante para volume).
- Converter o diâmetro para centímetros porque a massa está em gramas e é conveniente obter volume em
: - O raio é
. Então: A incerteza no raio é . - Anotações de incertezas relativas (úteis depois):
Passo 3
Calcular o volume nominal da esfera e estimar sua incerteza.
- Fórmula do volume em função do diâmetro (mais direta):
.
Explico por que: partindo dee obtemos . - Calcular
com o nominal: Primeiro . Então (Arredondando razoavelmente, .) - Incerteza em
: como , a incerteza relativa satisfaz Explico: para tomar logaritmo e linearizar dá ; é a regra geral para potência. - Calcular numericamente:
Assim Podemos anotar (arredondei a incerteza para dois algarismos significativos e o valor para corresponder).
Passo 4
Calcular a densidade (massa específica) nominal e propagar a incerteza.
- Fórmula:
. Aqui e são independentes (a incerteza do volume vem de , diferente da massa). - Calcular o valor nominal:
Arredondando: . - Propagação da incerteza: para razão de grandezas independentes,
Explico: se , então e as variâncias dos termos (assumindo independência) somam. - Substituir números:
Ou seja aproximadamente
.
- Portanto a incerteza absoluta em
é Arredondando a incerteza para dois algarismos significativos e ajustando o valor: Observação: usei duas casas significativas na incerteza para ficar mais informativo; é comum reportar a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos e ajustar a quantidade principal.
Passo 5
Calcular a densidade relativa e sua incerteza.
- Definição: densidade relativa
. Assumindo sem incerteza relevante, então numericamente a densidade relativa é numericamente igual à densidade em . - Logo
A incerteza relativa é a mesma que a de (porque dividimos por uma constante exata), então