1.37 A massa da bola de golfe oficial inglesa é (52,1 \pm 0,3) g e seu diâmetro médio é (43,1 \pm 0,3) \mathrm{mm}. Determine a massa específica e a densidade relativa da bola de golfe inglesa. Estime as incertezas nos valores calculados.

Passo 1

O enunciado dá dois dados com suas incertezas e pede a massa específica (densidade) e a densidade relativa da bola de golfe, com estimativa das incertezas. Vou listar claramente o que foi dado e o que pedem.
Dados (peguei do enunciado):
  • Massa: m=(52,1\pm0,3)\\ \mathrm{g}.
  • Diâmetro médio: d=(43,1\pm0,3)\\ \mathrm{mm}.
O que o problema pede:
  1. A massa específica (densidade) da bola, isto é \rho=\dfrac{m}{V}, onde V é o volume da esfera.
  2. A densidade relativa (também chamada gravidade específica), isto é a razão \dfrac{\rho}{\rho_{\mathrm{água}}}á. Vou assumir \rho_{\mathrm{água}}=1,00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}á (água pura a 4^\circC — costumeiro em exercícios).
  3. Estimar as incertezas nos valores calculados a partir das incertezas dadas em m e d.
Observações úteis para a resolução (não é solução ainda):
  • A bola é (aproximadamente) uma esfera: volume \;V=\dfrac{\pi}{6}d^{3}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3}, com r=d/2.
  • As incertezas serão propagadas usando aproximações de primeira ordem (linearização); para quantidades do tipo x\propto d^{n} vale \dfrac{\Delta x}{x}\approx |n|\dfrac{\Delta d}{d} quando \Delta d/d é pequeno. Para produto/razão de grandezas independentes, as incertezas relativas somam em quadratura.

Passo 2

Converter unidades e calcular o raio nominal e sua incerteza (passo importante para volume).
  • Converter o diâmetro para centímetros porque a massa está em gramas e é conveniente obter volume em \mathrm{cm^{3}}: d = 43,1\\ \mathrm{mm} = 4,31\\ \mathrm{cm},\qquad \Delta d = 0,3\\ \mathrm{mm} = 0,03\\ \mathrm{cm}.
  • O raio é r=\dfrac{d}{2}. Então: r = \dfrac{4,31}{2}=2,155\\ \mathrm{cm}.A incerteza no raio é \Delta r=\dfrac{\Delta d}{2}=0,015\\ \mathrm{cm}.
  • Anotações de incertezas relativas (úteis depois): \frac{\Delta m}{m}=\frac{0,3}{52,1}\approx0,00576\quad(\approx0{,}576\%),\qquad \frac{\Delta r}{r}=\frac{0,015}{2,155}\approx0,00696\quad(\approx0{,}696\%).

Passo 3

Calcular o volume nominal da esfera e estimar sua incerteza.
  • Fórmula do volume em função do diâmetro (mais direta): \;V=\dfrac{\pi}{6}d^{3}.
    Explico por que: partindo de V=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} e r=d/2 obtemos V=\dfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}=\dfrac{\pi}{6}d^{3}.
  • Calcular V com o d nominal: V=\dfrac{\pi}{6}d^{3}=\dfrac{\pi}{6}(4,31)^{3}\\ \mathrm{cm^{3}}.Primeiro d^{3}=4,31^{3}\approx80,063. Então V \approx 0,5235988\times80,063 \approx41,9186\\ \mathrm{cm^{3}}.(Arredondando razoavelmente, V\approx41,92\\ \mathrm{cm^{3}}.)
  • Incerteza em V: como V\propto d^{3}, a incerteza relativa satisfaz \frac{\Delta V}{V}\approx 3\frac{\Delta d}{d}.Explico: para V=d^{3} tomar logaritmo e linearizar dá \Delta V/V \approx 3\,\Delta d/d; é a regra geral para potência.
  • Calcular numericamente: \frac{\Delta V}{V}\approx 3\cdot\frac{0,03}{4,31}=3\cdot0,00696\approx0,02087\quad(\approx2{,}087\%).Assim \Delta V \approx V\cdot0,02087\approx41,9186\cdot0,02087\approx0,875\\ \mathrm{cm^{3}}.Podemos anotar V=(41,92\pm0,88)\\ \mathrm{cm^{3}} (arredondei a incerteza para dois algarismos significativos e o valor para corresponder).

Passo 4

Calcular a densidade (massa específica) nominal e propagar a incerteza.
  • Fórmula: \rho=\dfrac{m}{V}. Aqui m e V são independentes (a incerteza do volume vem de d, diferente da massa).
  • Calcular o valor nominal: \rho=\frac{52,1}{41,9186}\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}\approx1,2423\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.Arredondando: \rho\approx1,242\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.
  • Propagação da incerteza: para razão de grandezas independentes, \left(\frac{\Delta \rho}{\rho}\right)^{2}\approx\left(\frac{\Delta m}{m}\right)^{2}+\left(\frac{\Delta V}{V}\right)^{2}.Explico: se \rho=mV^{-1}, então \ln\rho=\ln m-\ln V e as variâncias dos termos (assumindo independência) somam.
  • Substituir números: \frac{\Delta m}{m}\approx0,00576,\qquad \frac{\Delta V}{V}\approx0,02087.
\frac{\Delta \rho}{\rho}\approx\sqrt{0,00576^{2}+0,02087^{2}} \approx\sqrt{3,32\times10^{-5}+4,36\times10^{-4}} \approx\sqrt{4,69\times10^{-4}}\approx0,02165.
Ou seja aproximadamente 2{,}165\%.
  • Portanto a incerteza absoluta em \rho é \Delta \rho \approx \rho\cdot0,02165 \approx1,2423\cdot0,02165\approx0,0269\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.Arredondando a incerteza para dois algarismos significativos e ajustando o valor: \rho=(1,24\pm0,03)\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}.Observação: usei duas casas significativas na incerteza para ficar mais informativo; é comum reportar a incerteza com 1 ou 2 algarismos significativos e ajustar a quantidade principal.

Passo 5

Calcular a densidade relativa e sua incerteza.
  • Definição: densidade relativa =\dfrac{\rho}{\rho_{\mathrm{água}}}á. Assumindo \rho_{\mathrm{água}}=1,00\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}á sem incerteza relevante, então numericamente a densidade relativa é numericamente igual à densidade em \mathrm{g\,cm^{-3}}.
  • Logo \text{densidade relativa}=\frac{1,2423}{1,00}\approx1,2423.A incerteza relativa é a mesma que a de \rho (porque dividimos por uma constante exata), então \text{densidade relativa}=(1,24\pm0,03).

Resposta

\rho=(1,24\pm0,03)\\ \mathrm{g\,cm^{-3}}
\text{densidade relativa}=(1,24\pm0,03)

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