1.36 Um cilindro de raio 0,2
gira concentricamente dentro de um cilindro rígido de raio
, sendo as alturas de ambos iguais a
. Sabe-se que um momento de força de 2
m é requerido para manter uma velocidade angular de
revoluções por segundo. Calcule a viscosidade do líquido usado entre os cilindros.
Passo 1
O enunciado dá um fluido contido no espaço entre dois cilindros concêntricos com as seguintes informações:
- raio do cilindro interno:
; - raio do cilindro externo:
; - alturas (comprimento axial) dos cilindros:
; - torque necessário para manter a rotação:
; - velocidade angular do cilindro que gira:
revoluções por segundo.
O que o problema pede: calcular a viscosidade dinâmica do líquido,
.
Passo 2
Primeiro passo prático: converter a rotação em revoluções por segundo para velocidade angular em rad/s. A relação é
(rev/s). Logo
Passo 3
Agora vamos obter a expressão do campo de velocidade azimutal
para escoamento estacionário, axisimétrico e puramente tangencial entre cilindros concêntricos (caso clássico de Couette cilíndrico). A equação diferencial para
reduz-se a solução da forma
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno:
Aplicando essas condições obtemos o sistema
Subtraindo as duas equações e resolvendo para
encontra-se
Passo 4
Precisamos relacionar a distribuição de velocidade com o torque viscoso. A componente de tensão de cisalhamento relevante em coordenadas cilíndricas é
Para
temos
logo
O torque (módulo) exercido sobre um cilindro de raio
e comprimento
é a força de cisalhamento multiplicada pelo braço:
Substituindo
obtemos, independentemente de
,
Substituindo
resulta a expressão prática que liga torque, viscosidade e rotação:
Passo 5
Isolar
e substituir valores numéricos. A fórmula inversa é
Calculemos os termos intermediários (todos os números mostrados em notação decimal com vírgula conforme enunciado):
Agora o denominador:
O numerador:
Portanto
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o valor obtido é
, que está na ordem da viscosidade da água à temperatura ambiente — um resultado bastante razoável. Vai dar tudo certo na prova: você montou o perfil de velocidade, usou a tensão de cisalhamento e relacionou ao torque — esse é o caminho padrão para estes problemas cilíndricos.