1.36 Um cilindro de raio 0,2 \mathbf{m} gira concentricamente dentro de um cilindro rígido de raio \mathbf{0 , 2 0 2 ~ m}, sendo as alturas de ambos iguais a \mathbf{0 , 4 ~ m}. Sabe-se que um momento de força de 2 \mathbf{N} \cdot m é requerido para manter uma velocidade angular de \mathbf{3 2 , 6} revoluções por segundo. Calcule a viscosidade do líquido usado entre os cilindros.

Passo 1

O enunciado dá um fluido contido no espaço entre dois cilindros concêntricos com as seguintes informações:
  • raio do cilindro interno: a=0{,}200\\ \text{m};
  • raio do cilindro externo: b=0{,}202\\ \text{m};
  • alturas (comprimento axial) dos cilindros: L=0{,}4\\ \text{m};
  • torque necessário para manter a rotação: T=2{,}0\\ \text{N}\cdot\text{m};
  • velocidade angular do cilindro que gira: 32{,}6 revoluções por segundo.
O que o problema pede: calcular a viscosidade dinâmica do líquido, \mu.

Passo 2

Primeiro passo prático: converter a rotação em revoluções por segundo para velocidade angular em rad/s. A relação é \Omega = 2\pi \times (rev/s). Logo
\Omega = 2\pi \times 32{,}6 = 65{,}2\,\pi \\ \text{rad/s}\approx 204{,}83184\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Agora vamos obter a expressão do campo de velocidade azimutal v_\theta(r) para escoamento estacionário, axisimétrico e puramente tangencial entre cilindros concêntricos (caso clássico de Couette cilíndrico). A equação diferencial para v_\theta(r) reduz-se a solução da forma
v_\theta(r)=C_1\,r + \frac{C_2}{r},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno:
v_\theta(a)=\Omega a,\qquad v_\theta(b)=0.
Aplicando essas condições obtemos o sistema
C_1 a + \frac{C_2}{a}=\Omega a,\qquad C_1 b + \frac{C_2}{b}=0.
Subtraindo as duas equações e resolvendo para C_2 encontra-se
C_2=\frac{\Omega\,a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}.

Passo 4

Precisamos relacionar a distribuição de velocidade com o torque viscoso. A componente de tensão de cisalhamento relevante em coordenadas cilíndricas é
\tau_{r\theta}=\mu\!\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r}\right).
Para v_\theta(r)=C_1 r + C_2/r temos
\frac{\partial v_\theta}{\partial r}-\frac{v_\theta}{r}=-\frac{2C_2}{r^{2}},
logo
\tau_{r\theta}=-\frac{2\mu C_2}{r^{2}}.
O torque (módulo) exercido sobre um cilindro de raio r e comprimento L é a força de cisalhamento multiplicada pelo braço:
T(r)=\text{(circunferência)}\times r\\ \tau_{r\theta}\times L = (2\pi r)\,r\,\tau_{r\theta}\,L.ê
Substituindo \tau_{r\theta} obtemos, independentemente de r,
T = 2\pi r^{2}\left(-\frac{2\mu C_2}{r^{2}}\right)L = 4\pi \mu C_2 L.
Substituindo C_2 resulta a expressão prática que liga torque, viscosidade e rotação:
T = 4\pi \mu L \frac{\Omega a^{2}b^{2}}{b^{2}-a^{2}}.

Passo 5

Isolar \mu e substituir valores numéricos. A fórmula inversa é
\mu = \frac{T\,(b^{2}-a^{2})}{4\pi L \,\Omega\, a^{2}b^{2}}.
Calculemos os termos intermediários (todos os números mostrados em notação decimal com vírgula conforme enunciado):
a^{2}=(0{,}200)^{2}=0{,}040000\\ \text{m}^{2},
b^{2}=(0{,}202)^{2}=0{,}040804\\ \text{m}^{2},
b^{2}-a^{2}=0{,}040804-0{,}040000=0{,}000804\\ \text{m}^{2},
a^{2}b^{2}=0{,}040000\times 0{,}040804=0{,}00163216\\ \text{m}^{4},
\Omega \approx 204{,}83184\\ \text{rad/s}.
Agora o denominador:
4\pi L \,\Omega\, a^{2}b^{2}=4\pi\times 0{,}4\times 204{,}83184\times 0{,}00163216 \approx 1{,}6804667.
O numerador:
T\,(b^{2}-a^{2})=2{,}0\times 0{,}000804=0{,}001608.
Portanto
\mu \approx \frac{0{,}001608}{1{,}6804667}\approx 9{,}57\times 10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o valor obtido é \mu\approx 9{,}6\times10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}, que está na ordem da viscosidade da água à temperatura ambiente — um resultado bastante razoável. Vai dar tudo certo na prova: você montou o perfil de velocidade, usou a tensão de cisalhamento e relacionou ao torque — esse é o caminho padrão para estes problemas cilíndricos.

Resposta

\mu \approx 9{,}57\times 10^{-4}\\ \text{Pa}\cdot\text{s}

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