1.37 Verifique se as matrizes de Pauli das como definidas e ,
são hermitiana e unitárias.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se as matrizes de Pauli A,B e C são hermitianas e unitárias.
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: vamos usar as definições de matriz hermitiana (igual à sua adjunta) e de matriz unitária (adjunta igual à inversa).
As matrizes são dadas por
A = 0 & 1 1 & 0 , B = 0 & -i i & 0 , C = 1 & 0 0 & -1
Passo 2
Definições que vamos usar:
Matriz M é hermitiana se
M^dag>=r = M,
onde M^dag>=r = M^T é a conjugada transposta.
Matriz U é unitária se
U^dag>=r,U = I,
onde I é a matriz identidade 2times2.
Passo 3
Verificação de Hermiticidade:
Para :
logo é hermitiana.
Para :
portanto e é hermitiana.
Para :
logo é hermitiana.
Passo 4
Verificação de Unitariedade:
Já que todas são hermitianas, basta checar :
Para :
Para :
Para :
Em cada caso , então são unitárias.
Resposta
As três matrizes A, B e C são hermitianas e unitárias.