(5) Na multiplicação de números reais, se u v1=u v2 e u neq 0, podemos cancelar u e concluir que v1=v2. A mesma regra se aplica ao produto escalar: Se u cdot v1=u cdot v2 e u neq 0, pode-se concluir que v1=v2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pergunta se, análogo à regra de cancelamento em (onde de e segue ), podemos afirmar que de
segue . O conteúdo envolve produto escalar, formas lineares e a noção de núcleo (kernel).

Passo 2

Lembremos que o produto escalar em é a forma bilinear
Fixando , a aplicação
é uma forma linear. Para cancelar precisaríamos que fosse injetora.

Passo 3

A injetividade de significa
Porém o núcleo de é
que em geral, quando , contém muitos vetores além do zero (é o subespaço ortogonal a ).

Passo 4

Um contraexemplo em R^2:
u=(1,0), v1=(0,1) e v2=(0,-1).
Calculamos
ucdotv1 = 1cdot0+0cdot1 = 0,
ucdotv2 = 1cdot0+0cdot(-1) = 0,
mas claramente v1neqv2.

Passo 5

Logo, a igualdade ucdotv1=ucdotv2 só diz que v1-v2 é ortogonal a u, não que seja o vetor nulo. Portanto não há cancelamento geral.

Resposta

Não, em geral não podemos cancelar no produto escalar: de ucdotv1=ucdotv2 e uneq0 não se segue v1=v2.

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