(5) Na multiplicação de números reais, se
e
, podemos cancelar
e concluir que
. A mesma regra se aplica ao produto escalar: Se
e
, pode-se concluir que
? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pergunta se, análogo à regra de cancelamento em (onde de
e
segue
), podemos afirmar que de
segue
. O conteúdo envolve produto escalar, formas lineares e a noção de núcleo (kernel).
Passo 2
Lembremos que o produto escalar em é a forma bilinear
Fixando
, a aplicação
é uma forma linear. Para cancelar precisaríamos que
fosse injetora.
Passo 3
A injetividade de
significa
Porém o núcleo de
é
que em geral, quando
, contém muitos vetores além do zero (é o subespaço ortogonal a
).
Passo 4
Um contraexemplo em
:
,
e
.
Calculamos
Calculamos
mas claramente
.
Passo 5
Logo, a igualdade
só diz que
é ortogonal a
, não que seja o vetor nulo. Portanto não há cancelamento geral.
Resposta
Não, em geral não podemos cancelar no produto escalar: de
e
não se segue
.