Estude a posição relativa das retas r e s nos casos abaixo:
r: X=(1,1,0)+lambda(1,0,-1 / 2) (lambda in R)
s: X=(0,1,1 / 2)+mu(-2,0,1) (mu in R)

Passo 1

O enunciado nos dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r: X=(1,1,0)+lambda,(1,0,-tfrac12) e
s: X=(0,1,tfrac12)+mu,(-2,0,1).
Queremos estudar sua posição relativa, usando vetores diretores, colinearidade e teste de interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores:
vec vr=(1,0,-tfrac12) e vec vs=(-2,0,1).

Passo 3

Verificamos se há escalar k tal que
vec vs = k,vec vr
Pelas componentes:
1. -2 = kcdot1 Rightarrow k=-2.
2. 0 = kcdot0 Rightarrow 0=0 (ok).
3. 1 = kcdot(-tfrac12) Rightarrow 1 = -2 times (-tfrac12) = 1 (ok).
Logo vec vs = -2,vec vr, ou seja, as direções são colineares e as retas são paralelas.

Passo 4

Para distinguir paralelas distintas de coincidentes, basta ver se um ponto de s pertence a r. Tomamos o ponto de s:
Ps = (0,1,tfrac12)
Procuramos lambda tal que
(1+lambda,,1,,-tfraclambda2) = (0,1,tfrac12)
Da segunda componente vem 1=1 (sempre satisfeito).
Da primeira: 1+lambda=0 Rightarrow lambda=-1.
Da terceira: -(-1)/2 = tfrac12, que coincide.
Portanto Ps está em r.

Resposta

As retas r e s são coincidentes.

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