5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{2 / 4}(1+\operatorname{tg} t)^{2} \operatorname{sec} ^{2} t d t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\tfrac{2}{4}} (1 + \tan t)^{2} \operatorname{sec}^{2}t \,dt.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição em integração, sabendo que \dfrac{d}{dt}(\tan t)=\operatorname{sec}^{2}t. Vamos usar essa ideia para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + \tan t.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = \operatorname{sec}^{2}t\,dt.
Note que isso aparece exatamente no integrando, o que vai transformar a integral em uma integral polinomial em u.

Passo 3

Reescrevendo o integrando em termos de u, temos
(1 + \tan t)^{2}\,\operatorname{sec}^{2}t\,dt = u^{2}\,du.
Também devemos converter os limites de t para u:
para t=0, u=1+\tan(0)=1;
para t=\tfrac{2}{4}=\tfrac12, u=1+\tan\bigl(\tfrac12\bigr).

Passo 4

A integral original passa a ser
\int_{t=0}^{t=\tfrac12}(1 + \tan t)^{2}\operatorname{sec}^{2}t\,dt =\int_{u=1}^{u=1+\tan(\tfrac12)} u^{2}\,du.
Essa é uma integral imediata de potência de u.

Passo 5

Integramos u^{2}\,du:
\int u^{2}\,du = \frac{u^{3}}{3}.
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo entre u=1 e u=1+\tan(\tfrac12), obtemos
\left.\frac{u^{3}}{3}\right|_{1}^{1+\tan(\tfrac12)} = \frac{1}{3}\Bigl[(1+\tan(\tfrac12))^{3} - 1^{3}\Bigr].

Resposta

\int_{0}^{\tfrac{2}{4}}(1+\tan t)^{2}\operatorname{sec}^{2}t\,dt = \frac{1}{3}\bigl[(1+\tan(\tfrac12))^{3}-1\bigr].

Exercícios relacionados