5-38 Calcule a integral.
{\int_{0}^{3}\left|x^{2}-4\right| d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função com valor absoluto, ou seja
\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-4\bigr|\,dx.
Para resolver isso, vamos usar que \lvert f(x)\rvert exige analisar onde f(x) muda de sinal e depois “quebrar” a integral nesses pontos.

Passo 2

Encontramos os zeros de x^{2}-4 resolvendo
x^{2}-4=0\quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
No intervalo de integração [0,3], o ponto relevante é x=2. Para 0\le x<2 temos x^{2}-4<0, logo \lvert x^{2}-4\rvert=4-x^{2}. Para 2\le x\le3 temos x^{2}-4\ge0, então \lvert x^{2}-4\rvert=x^{2}-4.

Passo 3

Podemos, então, escrever
\int_{0}^{3}\bigl|x^{2}-4\bigr|\,dx =\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx +\int_{2}^{3}(x^{2} - 4)\,dx.

Passo 4

Calcular a primeira parte:
\int_{0}^{2}(4 - x^{2})\,dx =\Bigl[4x - \tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =(4\cdot2 - \tfrac{2^{3}}{3}) - (0) =8 - \tfrac{8}{3} =\tfrac{24-8}{3} =\tfrac{16}{3}.

Passo 5

Calcular a segunda parte:
\int_{2}^{3}(x^{2} - 4)\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - 4x\Bigr]_{2}^{3} =\bigl(\tfrac{27}{3} - 12\bigr) -\bigl(\tfrac{8}{3} - 8\bigr) =(9-12) - \bigl(\tfrac{8}{3}-8\bigr) =-3 - \tfrac{8-24}{3} =-3 - \bigl(-\tfrac{16}{3}\bigr) =-3 + \tfrac{16}{3} =\tfrac{-9+16}{3} =\tfrac{7}{3}.

Passo 6

Somando os dois resultados:
\tfrac{16}{3} + \tfrac{7}{3} = \tfrac{23}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{23}{3}

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