5-38 Calcule a integral.
{\int \operatorname{seah}(1+4 x) d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \sech\bigl(1+4x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é a técnica de substituição para integrais, junto com a primitiva conhecida de \sech u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 + 4x,
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du = 4\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{1}{4}\,du.
Substituindo na integral, obtemos
\int \sech\bigl(1+4x\bigr)\,dx = \int \sech(u)\,\frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int \sech(u)\,du.

Passo 3

Lembramos que uma primitiva padrão é
\int \sech(u)\,du = 2\arctan\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{u}{2})\bigr) + C.
Aplicando isso na integral já com o fator \tfrac14, vem
\frac{1}{4}\int \sech(u)\,du = \frac{1}{4}\Bigl[2\arctan\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{u}{2})\bigr)\Bigr] + C = \frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{u}{2})\bigr) + C.

Passo 4

Voltando à variável x (ou seja, u=1+4x), a antiderivada fica
\frac{1}{2}\,\arctan\!\bigl(\operatorname{tanh}(\tfrac{1+4x}{2})\bigr) + C.

Resposta

\int \sech\bigl(1+4x\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,\arctan\!\Bigl(\operatorname{tanh}\bigl(\tfrac{1+4x}{2}\bigr)\Bigr) + C.

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