5-38 Calcule a integral.
{\int_{-1}^{2} \frac{\operatorname{sen} x}{1+x^{2}} d x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-1}^{2} \frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx
Essa é uma função que não admite primitiva elementar simples, então vamos recorrer a um método de integração numérica (a regra de Simpson composta), que é suficientemente preciso para nossa finalidade.

Passo 2

Dividimos o intervalo [-1,2] em n=6 subintervalos de largura igual
h = \frac{2 - (-1)}{6} = 0{,}5.
Os nós são
x_0=-1,\;x_1=-0{,}5,\;x_2=0,\;x_3=0{,}5,\;x_4=1,\;x_5=1{,}5,\;x_6=2.

Passo 3

Calculamos os valores de f(x)=\sin x/(1+x^2) em cada nó:
\begin{array}{c|c} x_i & f(x_i)=\dfrac{\sin x_i}{1+x_i^2}\\hline -1 & \dfrac{\sin(-1)}{2} \approx -0{,}4207\\\\ -0{,}5 & \dfrac{\sin(-0{,}5)}{1{,}25} \approx -0{,}3835\\\\ 0 & 0\\\\ 0{,}5 & \dfrac{\sin(0{,}5)}{1{,}25} \approx 0{,}3835\\\\ 1 & \dfrac{\sin(1)}{2} \approx 0{,}4207\\\\ 1{,}5 & \dfrac{\sin(1{,}5)}{3{,}25} \approx 0{,}3069\\\\ 2 & \dfrac{\sin(2)}{5} \approx 0{,}1819 \end{array}

Passo 4

Aplicamos a regra de Simpson composta:
\int_{-1}^{2} f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl[f(x_0)+f(x_6) +4\bigl(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\bigr) +2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr)\Bigr].
Substituindo os valores:
\begin{aligned} &f(x_0)+f(x_6)=-0{,}4207+0{,}1819=-0{,}2388,\\\ &4\bigl(f(x_1)+f(x_3)+f(x_5)\bigr) =4\bigl(-0{,}3835+0{,}3835+0{,}3069\bigr)=1{,}2276,\\\ &2\bigl(f(x_2)+f(x_4)\bigr) =2\bigl(0+0{,}4207\bigr)=0{,}8414. \end{aligned}
Então
\int_{-1}^{2} \frac{\sin x}{1+x^2}\,dx \approx \frac{0{,}5}{3}\bigl(-0{,}2388+1{,}2276+0{,}8414\bigr) =0{,}1667\times1{,}8302\approx0{,}3050.

Resposta

\int_{-1}^{2} \frac{\sin x}{1+x^{2}}\,dx \approx 0{,}3050.

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