5-38 Calcule a integral.
{\int_{-\infty / 4}^{\infty / 4} \frac{t^{4} \operatorname{tg} t}{2+\cos t} d t}

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}\,dt.
O conteúdo principal aqui é o exame da paridade da função integranda para aproveitar simetria do intervalo.

Passo 2

Defina
f(t)=\frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}.
Vamos verificar f(-t):
f(-t) =\frac{(-t)^{4}\,\tan(-t)}{2+\cos(-t)} =\frac{t^{4}\,(-\tan t)}{2+\cos t} =-\,\frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t} =-f(t).
Logo f é função ímpar.

Passo 3

Para uma função ímpar f integrada num intervalo simétrico [-a,a], vale
\int_{-a}^{a}f(t)\,dt=0.
Aqui a=\pi/4, logo
\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \frac{t^{4}\,\tan t}{2+\cos t}\,dt = 0.

Resposta

0

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